Question

1. write an equation for a parabola in which the set of all points in the plane are equidistant from the focus ( f(0, -5) ) and ( y = 5 ).

options:
( y = \frac{1}{20}x^2 )
( y = \frac{1}{10}x^2 )
( y = -\frac{1}{10}x^2 )
( y = -\frac{1}{20}x^2 )

Explanation:

Step1: Usar definición de parábola

Sea un punto $(x,y)$ en la parábola. La distancia al foco $F(0,-5)$ es igual a la distancia a la directriz $y=5$.
La distancia al foco es $\sqrt{(x-0)^2+(y+5)^2}$, y la distancia a la directriz es $|y-5|$.
Igualamos ambas distancias:
$$\sqrt{x^2+(y+5)^2} = |y-5|$$

Step2: Elevar al cuadrado ambos lados

Eliminamos la raíz y el valor absoluto:
$$x^2+(y+5)^2 = (y-5)^2$$

Step3: Expandir los binomios

Desarrollamos los cuadrados:
$$x^2 + y^2 + 10y + 25 = y^2 - 10y + 25$$

Step4: Simplificar la ecuación

Cancelamos términos comunes y despejamos $y$:
$$x^2 + 10y = -10y$$
$$x^2 = -20y$$
$$y = -\frac{1}{20}x^2$$

Answer:

D. $y = -\frac{1}{20}x^2$