Question

use the fundamental theorem of calculus to evaluate the following definite integral.
int_{1}^{4} \frac{6}{t} dt
int_{1}^{4} \frac{6}{t} dt = square
(type an exact answer.)

Explanation:

Step1: 積分公式の適用

定積分 $\int_{1}^{4}\frac{6}{t}dt$ では、$\int\frac{1}{t}dt=\ln|t|+C$ を利用する。定数倍の性質 $\int kf(t)dt = k\int f(t)dt$（$k$ は定数）により、$\int_{1}^{4}\frac{6}{t}dt = 6\int_{1}^{4}\frac{1}{t}dt$。
$$6\int_{1}^{4}\frac{1}{t}dt$$

Step2: 微積分学の基本定理の適用

微積分学の基本定理 $\int_{a}^{b}F^\prime(t)dt=F(b)-F(a)$ で、$F(t)=6\ln t$（$F^\prime(t)=\frac{6}{t}$）とする。
$$6[\ln t]_{1}^{4}=6(\ln 4 - \ln 1)$$

Step3: 対数の性質の利用

$\ln 1 = 0$ かつ $\ln 4=\ln 2^{2}=2\ln 2$ を利用。
$$6(2\ln 2 - 0)=12\ln 2$$

Answer:

$12\ln 2$