Question

use the drag and drop feature to determine the best form for each of the following:
drag & drop the answer
f(x) = (x + 2)(x - 4)
y = -3x + 7
g(x) = (x - 1)²
p(x) = -16x² + 48x
h(t) = t + 12
y = -3(x + 1)(x - 1)
h(x) = 3 + 2x
reveals the max or min of a function
quadratic that reveals the y-intercept of the function
reveals the slope of the function
reveals the solutions of the
slope-intercept form
vertex form

Explanation:

Step1: Analizar la forma pendiente-intersección

La forma pendiente-intersección es \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje \( y \). Las funciones lineales en esta forma son \( y = -3x + 7 \), \( h(t) = t + 12 \), \( h(x) = 3 + 2x \) (que se puede escribir como \( h(x) = 2x + 3 \)).

Step2: Analizar la forma vértice

La forma vértice de una función cuadrática es \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), que revela el vértice (máximo o mínimo). Las funciones aquí son \( g(x) = (x - 1)^2 \) (que es \( g(x) = 1(x - 1)^2 + 0 \)) y \( p(x) = -16x^2 + 48x \) se puede convertir a forma vértice, pero también \( g(x) \) está en forma vértice. Además, "Reveals the max or min of a function" corresponde a la forma vértice.

Step3: Analizar la forma estándar (o factored/expanded)

Las funciones en forma factored (que revelan las soluciones, ya que se pueden igualar a cero) son \( f(x) = (x + 2)(x - 4) \) y \( y = -3(x + 1)(x - 1) \). "Reveals the solutions of the function" corresponde a la forma factored (o expandida si se expande, pero factored muestra las raíces directamente). La forma estándar de una función cuadrática es \( ax^2 + bx + c \), como \( p(x) = -16x^2 + 48x \) (aunque también tiene un término \( c = 0 \)) y "Quadratic that reveals the y-intercept of the function" corresponde a la forma estándar, ya que el intercepto \( y \) es \( c \) cuando \( x = 0 \).

Ahora, organizar:

- **Slope-Intercept Form**: \( y = -3x + 7 \), \( h(t) = t + 12 \), \( h(x) = 3 + 2x \) (funciones lineales en \( y = mx + b \))
- **Vertex Form**: \( g(x) = (x - 1)^2 \), \( p(x) = -16x^2 + 48x \) (se puede convertir), y "Reveals the max or min of a function"
- **Standard Form (o Factored para soluciones)**: \( f(x) = (x + 2)(x - 4) \), \( y = -3(x + 1)(x - 1) \), \( p(x) = -16x^2 + 48x \) (forma estándar \( ax^2 + bx + c \)), "Quadratic that reveals the y-intercept of the function" (ya que en \( ax^2 + bx + c \), \( c \) es el intercepto \( y \) cuando \( x = 0 \)), "Reveals the solutions of the function" (forma factored muestra las raíces)

Pero para cada "drag and drop":

1. \( f(x) = (x + 2)(x - 4) \): Revela las soluciones (factored form), así que va a la sección que revela soluciones o a la forma que muestra raíces (factored), pero también, si se expande, es forma estándar, pero más directamente, factored muestra soluciones. Pero en términos de "best form" para cada:

- \( y = -3x + 7 \): Slope-Intercept Form (por ser \( y = mx + b \))
- \( g(x) = (x - 1)^2 \): Vertex Form (por ser \( a(x - h)^2 + k \))
- \( p(x) = -16x^2 + 48x \): Standard Form (y también puede ser convertido a vértice, pero la descripción "Quadratic that reveals the y-intercept" es standard form, ya que \( c = 0 \) aquí, y el intercepto \( y \) es \( 0 \))
- \( h(t) = t + 12 \): Slope-Intercept Form
- \( h(x) = 3 + 2x \): Slope-Intercept Form
- \( y = -3(x + 1)(x - 1) \): Forma factored (reveals solutions)
- "Reveals the max or min of a function": Vertex Form (porque el vértice es el máximo o mínimo)
- "Quadratic that reveals the y-intercept of the function": Standard Form (porque en \( ax^2 + bx + c \), \( c \) es el intercepto \( y \))
- "Reveals the slope of the function": Slope-Intercept Form (porque \( m \) es la pendiente)
- "Reveals the solutions of the function": Forma factored (porque se puede igualar a cero y resolver \( (x + 2)(x - 4) = 0 \), etc.)

Así que:

- **Slope-Intercept Form**: \( y = -3x + 7 \), \( h(t) = t + 12 \), \( h(x) = 3 + 2x \), "Reveals the slope of the function"
- **Vertex Form**: \( g(x) = (x - 1)^2 \), \( p(x) = -16x^2 + 48x \) (se puede convertir), "Reveals the max or min of a function"
- **Standard Form (o Factored/Expanded)**: \( f(x) = (x + 2)(x - 4) \), \( y = -3(x + 1)(x - 1) \), \( p(x) = -16x^2 + 48x \), "Quadratic that reveals the y-intercept of the function", "Reveals the solutions of the function" (para factored)

Pero la pregunta es "determine the BEST form for each of the following", así que:

1. \( f(x) = (x + 2)(x - 4) \): Best form to reveal solutions (factored form), so it goes to the category that reveals solutions or the form that is factored. But also, if we expand it, it's standard form \( x^2 - 2x - 8 \), but factored shows roots.
2. \( y = -3x + 7 \): Slope-Intercept Form (shows slope and y-intercept)
3. \( g(x) = (x - 1)^2 \): Vertex Form (shows vertex, max/min)
4. \( p(x) = -16x^2 + 48x \): Standard Form (quadratic, shows y-intercept as 0)
5. \( h(t) = t + 12 \): Slope-Intercept Form
6. \( y = -3(x + 1)(x - 1) \): Factored Form (shows solutions)
7. \( h(x) = 3 + 2x \): Slope-Intercept Form
8. "Reveals the max or min of a function": Vertex Form
9. "Quadratic that reveals the y-intercept of the function": Standard Form
10. "Reveals the slope of the function": Slope-Intercept Form
11. "Reveals the solutions of the function": Factored Form (or the functions in factored form)

Answer:

• Slope-Intercept Form: \( y = -3x + 7 \), \( h(t) = t + 12 \), \( h(x) = 3 + 2x \), "Reveals the slope of the function"
• Vertex Form: \( g(x) = (x - 1)^2 \), \( p(x) = -16x^2 + 48x \) (convertible), "Reveals the max or min of a function"
• Standard Form (o Factored): \( f(x) = (x + 2)(x - 4) \), \( y = -3(x + 1)(x - 1) \), \( p(x) = -16x^2 + 48x \), "Quadratic that reveals the y-intercept of the function", "Reveals the solutions of the function"

(Nota: La organización depende de la interpretación de "best form", pero la clave es la definición de cada forma:

• Pendiente-intersección: \( y = mx + b \) (lineales, muestra pendiente e intercepto \( y \)).
• Vértice: \( a(x - h)^2 + k \) (cuadráticas, muestra vértice/máximo/mínimo).
• Factored (o expandida como estándar): \( a(x - r_1)(x - r_2) \) (muestra raíces/soluciones) o \( ax^2 + bx + c \) (muestra intercepto \( y \) como \( c \)).)