Question

if n is a positive integer that is divisible by 12 and 16, then n must also be divisible by
(a) 28
(b) 32
(c) 48
(d) 96
(e) 192

Explanation:

Step1: 分解12和16的质因数

12分解质因数：\(12 = 2^2\times3\)；16分解质因数：\(16 = 2^4\)。

Step2: 求12和16的最小公倍数

两个数的最小公倍数取各质因数的最高次幂相乘，所以12和16的最小公倍数\(n_{min}=2^4\times3 = 16\times3 = 48\)。这意味着\(n\)是48的倍数，所以\(n\)一定能被48整除。

Step3: 分析选项

• 选项A：28分解质因数为\(2^2\times7\)，48和28的最大公因数是4，48不能被28整除，所以\(n\)不一定能被28整除。
• 选项B：32分解质因数为\(2^5\)，48除以32等于\(1.5\)，不是整数，所以\(n\)不一定能被32整除。
• 选项C：因为\(n\)是48的倍数，所以\(n\)一定能被48整除。
• 选项D：96是48的2倍，虽然\(n\)可能被96整除，但不是“必须”的，因为最小的\(n\)是48，48不能被96整除。
• 选项E：192是48的4倍，同理，最小的\(n\)是48，48不能被192整除，所以不是“必须”的。

Answer:

C. 48