Question

the population of a town can be modeled using the formula $p = 10,000e^{0.02t}$, where $t$ is the number of years after 2012 and $p$ is the town’s population. which of the following equations can be used to find the number of years after 2012 that the population will be 15,000?
$t = \frac{\ln 5,000}{0.02}$
$t = \frac{\log 1.5}{0.02}$
$t = \frac{1.5}{0.02e}$
$t = \frac{\ln 1.5}{0.02}$

Explanation:

Step1: Establecer la ecuación de población

Dado el modelo de población \( P = 10000e^{0.02t} \), queremos encontrar \( t \) cuando \( P = 15000 \). Sustituimos \( P = 15000 \) en la fórmula:

$$ 15000 = 10000e^{0.02t} $$

Step2: Simplificar la ecuación

Dividimos ambos lados por 10000:

$$ \frac{15000}{10000} = e^{0.02t} $$

$$ 1.5 = e^{0.02t} $$

Step3: Aplicar el logaritmo natural

Tomamos el logaritmo natural de ambos lados para despejar el exponente. Recordamos que \( \ln(e^x) = x \):

$$ \ln(1.5) = \ln(e^{0.02t}) $$

$$ \ln(1.5) = 0.02t $$

Step4: Resolver para \( t \)

Dividimos ambos lados por 0.02:

$$ t = \frac{\ln(1.5)}{0.02} $$

Answer:

\( t = \frac{\ln 1.5}{0.02} \) (la opción correspondiente es la cuarta opción en la lista, es decir, la que tiene \( t = \frac{\ln 1.5}{0.02} \))