Question

∫₀⁸ (dx)/(√(7 + x))

Explanation:

Step1: 换元法，令\(u = 1 + x\)

则\(du = dx\)，当\(x = 0\)时，\(u = 1\)；当\(x = 8\)时，\(u = 9\)。原积分变为\(\int_{1}^{9} \frac{du}{\sqrt{u}}\)。

Step2: 计算积分\(\int_{1}^{9} u^{-\frac{1}{2}} du\)

根据积分公式\(\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C\)（\(n
eq - 1\)），这里\(n=-\frac{1}{2}\)，则\(\int u^{-\frac{1}{2}} du = 2u^{\frac{1}{2}}+C = 2\sqrt{u}+C\)。

Step3: 代入上下限计算

\(2\sqrt{u}\big|_{1}^{9}=2\sqrt{9}-2\sqrt{1}=2\times3 - 2\times1 = 6 - 2 = 4\)。

Answer:

\(4\)