Question

guided practice
rewrite $y = \sqrt{25x + 100} + 2$ to make it easy to identify the transformations and describe them.
a. rewritten, $y = 5\sqrt{x + 4} + 2$. it is the graph of $y = 5\sqrt{x}$ translated 4 units left and 2 units up.
b. rewritten, $y = \sqrt{x + 4} + 2$. it is the graph of $y = \sqrt{x}$ translated 4 units left and 2 units up.
c. rewritten, $y = 5\sqrt{x + 4} + 2$. it is the graph of $y = 5\sqrt{x}$ translated 4 units right and 2 units up.
d. rewritten, $y = \sqrt{x + 4} + 2$. it is the graph of $y = \sqrt{x}$ translated 4 units right and 2 units up.

Explanation:

Step1: Simplificar la expresión radical

Tenemos la ecuación \( y=\sqrt{25x + 100}+2 \). Primero, factorizamos dentro de la raíz cuadrada: \( 25x + 100 = 25(x + 4) \). Entonces, \( y=\sqrt{25(x + 4)}+2 \).

Step2: Simplificar la raíz cuadrada

Como \( \sqrt{25(x + 4)}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{x + 4}=5\sqrt{x + 4} \), la ecuación se convierte en \( y = 5\sqrt{x + 4}+2 \).

Step3: Analizar las transformaciones

La función original para comparar es \( y = 5\sqrt{x} \). La transformación horizontal: en \( y = 5\sqrt{x + 4} \), el cambio en \( x \) ( \( x+4 \) en lugar de \( x \)) significa una traslación de 4 unidades a la izquierda (porque \( f(x + h) \) es una traslación de \( h \) unidades a la izquierda cuando \( h>0 \)). La transformación vertical: el \( +2 \) al final significa una traslación de 2 unidades hacia arriba. Entonces, la gráfica de \( y = 5\sqrt{x} \) se traslada 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia arriba para obtener \( y = 5\sqrt{x + 4}+2 \).

Answer:

A. Rewritten, \( y = 5\sqrt{x + 4} + 2 \). It is the graph of \( y = 5\sqrt{x} \) translated 4 units left and 2 units up.