Question

exe i.1.1 noções iniciais de conjuntos: definição, notação e linguagem

1. faça a representação pelo diagrama de venn dos seguintes conjuntos:

(a) o conjunto dos números pares.
(b) o conjunto dos números primos.
(c) o conjunto dos múltiplos de 3.
(d) o conjunto dos divisores de 142.

Explanation:

Identificar os elementos de cada conjunto

Analisamos as definições matemáticas para listar os elementos representativos de cada conjunto:

• Conjunto \(A\) (números pares):

$$A = \{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$$

• Conjunto \(B\) (números primos):

$$B = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$$

• Conjunto \(C\) (múltiplos de 3):

$$C = \{3, 6, 9, 12, 15, \dots\}$$

• Conjunto \(D\) (divisores de 142):

Fatorando \(142 = 2 \times 71\).

$$D = \{1, 2, 71, 142\}$$

Determinar as interseções entre os conjuntos

Analisamos os elementos comuns para posicioná-los corretamente no diagrama:

• O número \(2\) é par, primo e divisor de 142:

$$2 \in A \cap B \cap D$$

• O número \(3\) é primo e múltiplo de 3:

$$3 \in B \cap C$$

• O número \(6\) é par e múltiplo de 3:

$$6 \in A \cap C$$

• O número \(71\) é primo e divisor de 142:

$$71 \in B \cap D$$

• O número \(142\) é par e divisor de 142:

$$142 \in A \cap D$$

• O número \(1\) é apenas divisor de 142:

$$1 \in D$$

Estruturar a representação visual

Para representar graficamente através de um diagrama de Venn:

• Desenhamos quatro regiões circulares ou elípticas que se sobrepõem para representar os conjuntos \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).
• Posicionamos os elementos-chave nas respectivas interseções identificadas no passo anterior.

Answer:

A representação dos conjuntos pelo diagrama de Venn organiza os elementos de acordo com suas propriedades comuns:

• Conjunto \(A\) (Pares): Contém elementos como \(4, 8, 10, \dots\) além das interseções \(2\) (com \(B\) e \(D\)), \(6\) (com \(C\)) e \(142\) (com \(D\)).
• Conjunto \(B\) (Primos): Contém elementos como \(5, 11, \dots\) além das interseções \(2\) (com \(A\) e \(D\)), \(3\) (com \(C\)) e \(71\) (com \(D\)).
• Conjunto \(C\) (Múltiplos de 3): Contém elementos como \(9, 12, \dots\) além das interseções \(3\) (com \(B\)) e \(6\) (com \(A\)).
• Conjunto \(D\) (Divisores de 142): Contém exatamente os elementos \(\{1, 2, 71, 142\}\), distribuídos nas interseções:
• \(1\) exclusivo de \(D\).
• \(2\) na interseção de \(A\), \(B\) e \(D\).
• \(71\) na interseção de \(B\) e \(D\).
• \(142\) na interseção de \(A\) e \(D\).