the diagram shows a convex polygon.
what is the value of p?
p = \boxed{\circ}

Question

Accepted Answer

# Explanation:
## Step1: Usar la propiedad de ángulos externos
En un triángulo, la suma de los ángulos externos es $ 360^\circ $, pero aquí, observando la figura, los ángulos dados y los externos se relacionan. Además, el ángulo de $ 92^\circ $ y los ángulos $ 2p - 14^\circ $, $ 2p - 18^\circ $ y su opuesto (que es igual al ángulo interno correspondiente) forman una relación. Wait, mejor: la suma de los ángulos externos de un triángulo (o cualquier polígono) se puede relacionar, pero en este caso, la línea recta forma $ 180^\circ $, pero quizás la suma de los ángulos externos y el ángulo dado. Wait, la figura muestra un triángulo con un ángulo de $ 92^\circ $ y dos ángulos externos $ 2p - 14^\circ $ y $ 2p - 18^\circ $, y el tercer ángulo externo se puede calcular. Pero la suma de los ángulos externos de un triángulo es $ 360^\circ $, pero también, el ángulo interno correspondiente a $ 92^\circ $ es $ 180 - 92 = 88^\circ $. Luego, la suma de los ángulos internos de un triángulo es $ 180^\circ $, así que los otros dos ángulos internos suman $ 180 - 88 = 92^\circ $. Los ángulos externos son suplementarios a los internos, así que:

Ángulo externo 1: $ 180 - (ángulo interno 1) = 2p - 14 $

Ángulo externo 2: $ 180 - (ángulo interno 2) = 2p - 18 $

Y ángulo interno 1 + ángulo interno 2 = $ 92^\circ $ (porque el tercer ángulo interno es $ 88^\circ $, como $ 180 - 92 = 88 $)

Así, $ (180 - (2p - 14)) + (180 - (2p - 18)) = 92 $? No, wait, no. Wait, el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes (propiedad de ángulo externo de un triángulo). Ah, sí! La propiedad del ángulo externo de un triángulo: el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes.

Entonces, el ángulo externo que mide $ 92^\circ $? No, el ángulo de $ 92^\circ $ es un ángulo interno? Wait, la figura: hay una línea recta, y un triángulo con un ángulo de $ 92^\circ $ (que es un ángulo interno), y dos ángulos externos $ 2p - 14^\circ $ y $ 2p - 18^\circ $. Entonces, el ángulo externo correspondiente al ángulo interno de $ 92^\circ $ es $ 180 - 92 = 88^\circ $. Luego, la suma de los ángulos externos de un triángulo es $ 360^\circ $, así que:

$ (2p - 14) + (2p - 18) + 88 = 360 $

Ah, eso es! Porque la suma de los ángulos externos de cualquier polígono es $ 360^\circ $. Entonces:

$ 2p - 14 + 2p - 18 + 88 = 360 $

Sumar términos:

$ 4p + ( -14 - 18 + 88 ) = 360 $

$ 4p + 56 = 360 $

$ 4p = 360 - 56 = 304 $

$ p = 304 / 4 = 76 $? Wait, no, eso no da. Wait, quizás me equivoqué.

Wait, la propiedad del ángulo externo: el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. Entonces, si el ángulo externo es $ 2p - 14 $, entonces $ 2p - 14 = 92 + (ángulo interno opuesto) $. No, la figura: la línea que forma $ 92^\circ $ y el ángulo externo $ 2p - 14 $ y $ 2p - 18 $. Wait, la imagen muestra un triángulo con un ángulo de $ 92^\circ $ (una línea que forma $ 92^\circ $ con un lado), y dos ángulos externos: uno es $ 2p - 14^\circ $ y el otro $ 2p - 18^\circ $. Entonces, la suma de los ángulos externos y el ángulo de $ 92^\circ $ se relacionan? No, la línea recta es $ 180^\circ $, así que $ 92 + (180 - (2p - 14)) + (180 - (2p - 18)) = 180 $? No, no. Wait, mejor: la suma de los ángulos internos de un triángulo es $ 180^\circ $. El ángulo de $ 92^\circ $ es un ángulo interno. Los otros dos ángulos internos son $ 180 - (2p - 14) $ y $ 180 - (2p - 18) $, porque los ángulos externos son suplementarios a los internos (ya que forman una línea recta, $ 180^\circ $). Entonces:

$ 92 + (180 - (2p - 14)) + (180 - (2p - 18)) = 180 $

Simplificar:

$ 92 + 180 - 2p + 14 + 180 - 2p + 18 = 180 $

Sumar términos:

$ 92 + 14 + 18 + 180 + 180 - 4p = 180 $

$ (92 + 14 + 18) + 360 - 4p = 180 $

$ 124 + 360 - 4p = 180 $

$ 484 - 4p = 180 $

$ -4p = 180 - 484 = -304 $

$ p = (-304) / (-4) = 76 $. Wait, pero eso no parece correcto. Wait, quizás la propiedad del ángulo externo: el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes. Entonces, si el ángulo externo es $ 2p - 14 $, entonces $ 2p - 14 = 92 + (ángulo interno opuesto) $, y el otro ángulo externo $ 2p - 18 = 92 + (otro ángulo interno) $. Pero la suma de los dos ángulos internos no adyacentes es igual al ángulo externo. Wait, no, la fórmula es: ángulo externo = suma de los dos ángulos internos no adyacentes. Entonces, si tenemos un triángulo, y un ángulo externo en un vértice, entonces ese ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos de los otros dos vértices.

En la figura, el ángulo de $ 92^\circ $ es un ángulo interno, y los ángulos externos son $ 2p - 14 $ y $ 2p - 18 $. Entonces, el ángulo externo $ 2p - 14 $ es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes, que serían $ 92^\circ $ y el ángulo interno correspondiente al otro ángulo externo $ 2p - 18 $. Wait, no, mejor:

Sea el triángulo ABC, con ángulo en A de $ 92^\circ $, ángulo externo en B de $ 2p - 14^\circ $, y ángulo externo en C de $ 2p - 18^\circ $. Entonces, el ángulo externo en B es igual a la suma de los ángulos internos en A y C: $ 2p - 14 = 92 + (ángulo interno en C) $. El ángulo externo en C es igual a la suma de los ángulos internos en A y B: $ 2p - 18 = 92 + (ángulo interno en B) $. Además, la suma de los ángulos internos en B y C es $ 180 - 92 = 88^\circ $ (porque la suma de ángulos internos de un triángulo es $ 180^\circ $).

Entonces, ángulo interno en B = $ 180 - (2p - 14) $ (porque el ángulo externo y el interno son suplementarios)

Ángulo interno en C = $ 180 - (2p - 18) $

Entonces, $ (180 - (2p - 14)) + (180 - (2p - 18)) = 88 $

Simplificar:

$ 180 - 2p + 14 + 180 - 2p + 18 = 88 $

$ 382 - 4p = 88 $

$ -4p = 88 - 382 = -294 $

$ p = 294 / 4 = 73.5 $. No, eso no es entero. Wait, quizás me equivoqué en la relación.

Wait, la suma de los ángulos externos de cualquier polígono es $ 360^\circ $. Entonces, para un triángulo, la suma de los tres ángulos externos es $ 360^\circ $. El ángulo externo correspondiente al ángulo interno de $ 92^\circ $ es $ 180 - 92 = 88^\circ $. Entonces, los otros dos ángulos externos son $ 2p - 14 $ y $ 2p - 18 $. Entonces:

$ (2p - 14) + (2p - 18) + 88 = 360 $

Sumar:

$ 4p - 32 + 88 = 360 $

$ 4p + 56 = 360 $

$ 4p = 360 - 56 = 304 $

$ p = 304 / 4 = 76 $. Wait, pero entonces los ángulos externos serían $ 2*76 -14 = 152 -14 = 138 $, $ 2*76 -18 = 152 -18 = 134 $, y $ 88 $. Suma: $ 138 + 134 + 88 = 360 $, lo que es correcto (suma de ángulos externos de un triángulo es $ 360^\circ $). Entonces, eso funciona.

## Step2: Resolver la ecuación
La ecuación es $ (2p - 14) + (2p - 18) + (180 - 92) = 360 $

Simplificar:

$ 2p -14 + 2p -18 + 88 = 360 $

$ 4p + 56 = 360 $

$ 4p = 360 - 56 = 304 $

$ p = 304 / 4 = 76 $

# Answer:
$ p = 76 $

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Step1: Usar la propiedad de ángulos externos

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