Question

in the diagram below, ( overline{ab} cong overline{bd} cong overline{bc} ), and ( mangle c = 65^{circ} ). find ( mangle adc ).

Explanation:

Step1: 求\(\angle BDC\)

因为\(\overline{BD}\cong\overline{BC}\)，所以\(\triangle BCD\)是等腰三角形，\(\angle BDC = \angle C\)。
已知\(m\angle C = 65^{\circ}\)，所以\(m\angle BDC=65^{\circ}\)。

Step2: 求\(\angle DBC\)

根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，在\(\triangle BCD\)中，\(\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC - \angle C\)。
将\(\angle BDC = 65^{\circ}\)，\(\angle C = 65^{\circ}\)代入得：\(\angle DBC=180^{\circ}- 65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}\)。

Step3: 求\(\angle ABD\)

因为\(\angle ABD + \angle DBC = 180^{\circ}\)（邻补角定义），所以\(\angle ABD=180^{\circ}-\angle DBC\)。
把\(\angle DBC = 50^{\circ}\)代入得：\(\angle ABD = 130^{\circ}\)。

Step4: 求\(\angle ADB\)

因为\(\overline{AB}\cong\overline{BD}\)，所以\(\triangle ABD\)是等腰三角形，\(\angle ADB=\angle A\)。
根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，在\(\triangle ABD\)中，\(\angle ADB=\frac{180^{\circ}-\angle ABD}{2}\)。
将\(\angle ABD = 130^{\circ}\)代入得：\(\angle ADB=\frac{180 - 130}{2}=25^{\circ}\)。

Step5: 求\(\angle ADC\)

因为\(\angle ADC=\angle BDC+\angle ADB\)，把\(\angle BDC = 65^{\circ}\)，\(\angle ADB = 25^{\circ}\)代入得：\(\angle ADC=65^{\circ}+25^{\circ}=90^{\circ}\)。

Answer:

\(90^{\circ}\)