Question

écris les expressions suivantes à laide dun seul radical, sous sa forme simplifiée.
\\(\sqrt{21} \times \sqrt{63} = \square\sqrt{\square}\\)
\\(\frac{\sqrt{900}}{\sqrt{12}} = \square\sqrt{\square}\\)

Explanation:

Première expression : $\boldsymbol{\sqrt{21} \times \sqrt{63}}$

Step1: Propriété du produit de racines

La propriété $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ (pour $a,b \geq 0$) s’applique. Ainsi, $\sqrt{21} \times \sqrt{63} = \sqrt{21 \times 63}$.

Step2: Calculer le produit sous la racine

Calculons $21 \times 63$ : $21 \times 63 = 1323$. Donc, on a $\sqrt{1323}$.

Step3: Factoriser 1323 pour simplifier

Factorisons 1323 : $1323 = 441 \times 3$ (car $441 \times 3 = 1323$) et $441 = 21^2 = 3^2 \times 7^2$. Ainsi, $1323 = 3^2 \times 7^2 \times 3$.

Step4: Simplifier la racine carrée

En utilisant $\sqrt{a^2 \times b} = a \times \sqrt{b}$ (pour $a \geq 0$), on a :
$\sqrt{3^2 \times 7^2 \times 3} = 3 \times 7 \times \sqrt{3} = 21\sqrt{3}$.

Seconde expression : $\boldsymbol{\frac{\sqrt{900}}{\sqrt{12}}}$

Step1: Propriété du quotient de racines

La propriété $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (pour $a \geq 0, b > 0$) s’applique. Ainsi, $\frac{\sqrt{900}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{900}{12}}$.

Step2: Calculer le quotient sous la racine

Calculons $\frac{900}{12}$ : $\frac{900}{12} = 75$. Donc, on a $\sqrt{75}$.

Step3: Factoriser 75 pour simplifier

Factorisons 75 : $75 = 25 \times 3$ (car $25 \times 3 = 75$) et $25 = 5^2$. Ainsi, $75 = 5^2 \times 3$.

Step4: Simplifier la racine carrée

En utilisant $\sqrt{a^2 \times b} = a \times \sqrt{b}$ (pour $a \geq 0$), on a :
$\sqrt{5^2 \times 3} = 5\sqrt{3}$.

Answer:

s:

• Pour $\sqrt{21} \times \sqrt{63}$ : $\boldsymbol{21\sqrt{3}}$
• Pour $\frac{\sqrt{900}}{\sqrt{12}}$ : $\boldsymbol{5\sqrt{3}}$