Question

in the coordinate plane shown, triangle abc is congruent to triangle abc
triangle abc is similar to triangle abc

part a
describe a single transformation that shows that triangle abc is congruent to
triangle abc. include all the necessary information to complete the transformation
enter your description in the space provided

part b
describe a sequence of transformations that shows that triangle abc is similar
to triangle abc. include all the necessary information to complete each
transformation
enter your description in the space provided

Explanation:

Explicación breve:

Parte A

Para determinar la transformación que muestra que el triángulo \(A'B'C'\) es congruente con el triángulo \(ABC\), observamos que los triángulos son espejos entre sí con respecto al eje \(y\). Una reflexión sobre el eje \(y\) (la recta \(x = 0\)) mapea cada punto \((x,y)\) del triángulo \(ABC\) al punto \((-x,y)\) del triángulo \(A'B'C'\). Por ejemplo, el punto \(A(5,5)\) se refleja a \(A'(- 5,5)\), el punto \(B(5,3)\) se refleja a \(B'(-5,3)\) y el punto \(C(0,3)\) se refleja a \(C'(0,3)\) (ya que \(x = 0\) en \(C\), el punto no cambia de posición en la reflexión sobre el eje \(y\)).

Parte B

Para mostrar que el triángulo \(A''B''C''\) es similar al triángulo \(A'B'C'\), primero hacemos una traslación y luego una dilatación.

1. Traslación: Movemos el triángulo \(A'B'C'\) 3 unidades hacia abajo. Una traslación de \(3\) unidades en la dirección negativa del eje \(y\) mapea un punto \((x,y)\) a \((x,y - 3)\). Por ejemplo, \(A'(-5,5)\) se traslada a \((-5,2)\), \(B'(-5,3)\) se traslada a \((-5,0)\) y \(C'(0,3)\) se traslada a \((0,0)\).
2. Dilatación: Realizamos una dilatación centrada en el origen \((0,0)\) con un factor de escala \(k = 1\). Pero para ver la semejanza claramente, supongamos que el triángulo \(A''B''C''\) se obtiene a partir de una dilatación de factor \(k = 1\) (ya que los triángulos \(A'B'C'\) y \(A''B''C''\) son congruentes si solo hacemos la traslación, pero para la semejanza formal, la dilatación con \(k = 1\) es válida. En realidad, si consideramos la relación de los triángulos en la gráfica, la traslación de \(3\) unidades hacia abajo y luego una dilatación (que no cambia la forma, ya que \(k = 1\)) muestra la semejanza.

Respuesta:

Parte A

Una reflexión sobre el eje \(y\) (la recta \(x=0\)) mapea el triángulo \(ABC\) al triángulo \(A'B'C'\).

Parte B

Primero, una traslación de \(3\) unidades hacia abajo (vector \((0,-3)\)) y luego una dilatación centrada en el origen con factor de escala \(k = 1\) (o simplemente la traslación, ya que para la semejanza, una transformación rígida seguida de una dilatación con \(k = 1\) es válida. En términos de la definición de semejanza, cualquier composición de transformaciones afines que preserve la forma (razones de lados) se puede usar. Aquí, la traslación no cambia la forma y la dilatación con \(k = 1\) tampoco, pero formalmente, la semejanza se define con una dilatación (incluso con \(k = 1\)) después de una traslación).

Answer:

Explicación breve:

Parte A

Para determinar la transformación que muestra que el triángulo \(A'B'C'\) es congruente con el triángulo \(ABC\), observamos que los triángulos son espejos entre sí con respecto al eje \(y\). Una reflexión sobre el eje \(y\) (la recta \(x = 0\)) mapea cada punto \((x,y)\) del triángulo \(ABC\) al punto \((-x,y)\) del triángulo \(A'B'C'\). Por ejemplo, el punto \(A(5,5)\) se refleja a \(A'(- 5,5)\), el punto \(B(5,3)\) se refleja a \(B'(-5,3)\) y el punto \(C(0,3)\) se refleja a \(C'(0,3)\) (ya que \(x = 0\) en \(C\), el punto no cambia de posición en la reflexión sobre el eje \(y\)).

Parte B

Para mostrar que el triángulo \(A''B''C''\) es similar al triángulo \(A'B'C'\), primero hacemos una traslación y luego una dilatación.

1. Traslación: Movemos el triángulo \(A'B'C'\) 3 unidades hacia abajo. Una traslación de \(3\) unidades en la dirección negativa del eje \(y\) mapea un punto \((x,y)\) a \((x,y - 3)\). Por ejemplo, \(A'(-5,5)\) se traslada a \((-5,2)\), \(B'(-5,3)\) se traslada a \((-5,0)\) y \(C'(0,3)\) se traslada a \((0,0)\).
2. Dilatación: Realizamos una dilatación centrada en el origen \((0,0)\) con un factor de escala \(k = 1\). Pero para ver la semejanza claramente, supongamos que el triángulo \(A''B''C''\) se obtiene a partir de una dilatación de factor \(k = 1\) (ya que los triángulos \(A'B'C'\) y \(A''B''C''\) son congruentes si solo hacemos la traslación, pero para la semejanza formal, la dilatación con \(k = 1\) es válida. En realidad, si consideramos la relación de los triángulos en la gráfica, la traslación de \(3\) unidades hacia abajo y luego una dilatación (que no cambia la forma, ya que \(k = 1\)) muestra la semejanza.

Respuesta:

Parte A

Una reflexión sobre el eje \(y\) (la recta \(x=0\)) mapea el triángulo \(ABC\) al triángulo \(A'B'C'\).

Parte B

Primero, una traslación de \(3\) unidades hacia abajo (vector \((0,-3)\)) y luego una dilatación centrada en el origen con factor de escala \(k = 1\) (o simplemente la traslación, ya que para la semejanza, una transformación rígida seguida de una dilatación con \(k = 1\) es válida. En términos de la definición de semejanza, cualquier composición de transformaciones afines que preserve la forma (razones de lados) se puede usar. Aquí, la traslación no cambia la forma y la dilatación con \(k = 1\) tampoco, pero formalmente, la semejanza se define con una dilatación (incluso con \(k = 1\)) después de una traslación).