Question

1. which of the following rotations of a regular decagon about its center would not map it onto itself? (1) 72° (2) 174° (3) 252° (4) 324° 19. regular hexagon efghij is shown below with the drawn diagonals intersecting at point m. point f is reflected across (overline{eh}) and then rotated by 120° counterclockwise about point m. which of the following points is in the same location as the image of point f after both transformations? (1) point h (2) point f (3) point g (4) point i 20. in the image below, (\triangle abc) is an isosceles right triangle with (overline{ab} cong overline{ac}) and (overline{ab} perp overline{ac}). point d is the midpoint of hypotenuse (overline{bc}). which of the following is a symmetry of (\triangle abc)? (1) a 180° rotation about point d (2) a reflection across (overline{ac}) (3) a clockwise rotation of 90° about point a (4) a reflection across (overline{ad})

Explanation:

18.

Step1: Cálculo del ángulo de rotación para un decágono regular

El ángulo de rotación para un polígono regular de \(n\) lados es \(\frac{360^{\circ}}{n}\). Para un decágono (\(n = 10\)), \(\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ}\). Las rotaciones que mapean un decágono regular sobre sí mismo son múltiplos de \(36^{\circ}\).

Step2: Verificación de cada opción

• Opción (1): \(72^{\circ}=2\times36^{\circ}\), es un múltiplo de \(36^{\circ}\).
• Opción (2): \(174^{\circ}\div36^{\circ}=\frac{29}{6}\), no es un múltiplo entero de \(36^{\circ}\).
• Opción (3): \(252^{\circ}=7\times36^{\circ}\), es un múltiplo de \(36^{\circ}\).
• Opción (4): \(324^{\circ}=9\times36^{\circ}\), es un múltiplo de \(36^{\circ}\).

Step1: Reflexión de \(F\) sobre \(\overline{EH}\)

Al reflejar \(F\) sobre \(\overline{EH}\), la imagen de \(F\) es \(J\).

Step2: Rotación de \(120^{\circ}\) en sentido antihorario de \(J\) alrededor de \(M\)

En un hexágono regular, una rotación de \(120^{\circ}\) en sentido antihorario de \(J\) alrededor de \(M\) (centro del hexágono) mapea \(J\) a \(I\).

Step1: Análisis de la simetría de un triángulo isósceles rectángulo

• Opción (1): Una rotación de \(180^{\circ}\) alrededor de \(D\) (medio - punto de la hipotenusa) en un triángulo isósceles rectángulo no es una simetría, ya que no mantiene la posición de los lados y ángulos.
• Opción (2): Una reflexión sobre \(\overline{AC}\) no es una simetría, ya que cambia la posición de \(B\) y no mantiene la congruencia de los lados relativos al triángulo original.
• Opción (3): Una rotación de \(90^{\circ}\) en sentido horario alrededor de \(A\) no es una simetría, ya que no mantiene la congruencia de los lados y ángulos del triángulo.
• Opción (4): Una reflexión sobre \(\overline{AD}\) (altura, mediana y bisectriz del triángulo isósceles rectángulo) es una simetría, ya que mantiene la congruencia de los lados y ángulos del triángulo.

Answer:

(2) \(174^{\circ}\)

19.