Question

1. let f(x) = 3x - 6 and g(x) = x - 2. find and state its domain. options: 1/3 all real numbers; 1/3 all real numbers except x = 2; 1, all real numbers; -3, all real numbers except x = 3

Explanation:

Step1: Analizar la operación (supongamos que es la división de funciones, \( \frac{f(x)}{g(x)} \))

Dado \( f(x) = 3x - 6 \) y \( g(x) = x - 2 \), primero simplificamos \( \frac{f(x)}{g(x)} \). Factorizamos \( f(x) \): \( f(x) = 3(x - 2) \). Entonces \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} \), pero debemos considerar el dominio de \( g(x) \) (ya que no podemos dividir por cero). El dominio de \( g(x) = x - 2 \) excluye \( x = 2 \), pero cuando simplificamos, la función resultante (3) tiene dominio todos los reales, pero debemos mantener la restricción original del denominador. Sin embargo, si la operación es \( \frac{g(x)}{f(x)} \), \( f(x) = 3x - 6 = 3(x - 2) \), entonces \( \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x - 2}{3(x - 2)} = \frac{1}{3} \) (con \( x
eq 2 \) para no dividir por cero). Pero si la operación es \( \frac{f(x)}{g(x)} \), simplifica a 3, dominio todos los reales? No, wait, el problema dice "Find \( \frac{g}{f} \) o \( \frac{f}{g} \)? La imagen muestra \( \frac{1}{3} \) con dominio todos los reales? No, la opción con \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)"? Wait, volviendo: si calculamos \( \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x - 2}{3x - 6} = \frac{x - 2}{3(x - 2)} = \frac{1}{3} \), pero \( x
eq 2 \) (porque en el denominador original, \( 3x - 6 = 0 \) cuando \( x = 2 \)). Pero si la operación es \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3x - 6}{x - 2} = 3 \), dominio todos los reales excepto \( x = 2 \) (porque \( g(x) = 0 \) en \( x = 2 \)), pero la función resultante es 3, que está definida en \( x = 2 \), pero el dominio de la función combinada debe excluir los valores que hacen que el denominador original sea cero. Entonces, si la operación es \( \frac{g(x)}{f(x)} \), entonces \( \frac{x - 2}{3x - 6} = \frac{1}{3} \) (para \( x
eq 2 \)), así que el dominio es todos los reales excepto \( x = 2 \), y la función es \( \frac{1}{3} \). Entonces la opción correcta sería la que tiene \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)". Pero la imagen muestra opciones: una con \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers", otra con \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)", 1 (all real numbers), -3 (all real numbers except \( x = 3 \)). Entonces, si la operación es \( \frac{g(x)}{f(x)} \), \( f(x) = 3x - 6 \), \( g(x) = x - 2 \), entonces \( \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x - 2}{3(x - 2)} = \frac{1}{3} \), con \( x
eq 2 \) (porque \( f(x) = 0 \) cuando \( x = 2 \), así que no podemos dividir por cero). Entonces la función es \( \frac{1}{3} \) con dominio todos los reales excepto \( x = 2 \).

Step2: Identificar la opción correcta

La opción que tiene \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)" es la correcta (la tercera opción, suponiendo la numeración de los círculos: el tercer círculo con \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)").

Answer:

La opción con \( \boldsymbol{\frac{1}{3}} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)" (la tercera opción en la lista de círculos, con el texto \( \frac{1}{3} \) y "all real numbers except \( x = 2 \)").