universidade técnica de moçambique
direcção académica

disciplina: investigação operacional
data: 16/06/2026
exame normal
duração: 120min

leia atentamente as questões e responda com muita clareza

1. um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapato, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objectivo é maximizar seu lucro por hora. (6.0)

2. resolva pelo método de simplex o seguinte problema de programação linear: (6.0)

maximizar $z = 3x_1 + 5x_2$

sujeita a $\begin{cases} 2x_1 + 4x_2 \le 10 \\ 6x_1 + x_2 \le 20 \\ x_1 - x_2 \le 30 \\ x_1 \ge 0 \\ x_2 \ge 0 \end{cases}$

3. transformar o modelo primal para o dual depois passe a forma padrão (8.0)

$min z = 15x_1 + 11x_2 + 6x_3$

sa $\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 \ge 10 \\ 2x_1 + 5x_2 - x_3 \ge 12 \\ 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 \le 15 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 10 \end{cases}$

$x_1 \le 0; x_2 \le 0; x_3 \ge 0$

Question

universidade técnica de moçambique
direcção académica

disciplina: investigação operacional
data: 16/06/2026
exame normal
duração: 120min

leia atentamente as questões e responda com muita clareza

1. um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapato, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objectivo é maximizar seu lucro por hora. (6.0)

2. resolva pelo método de simplex o seguinte problema de programação linear: (6.0)

maximizar $z = 3x_1 + 5x_2$

sujeita a $\begin{cases} 2x_1 + 4x_2 \le 10 \\ 6x_1 + x_2 \le 20 \\ x_1 - x_2 \le 30 \\ x_1 \ge 0 \\ x_2 \ge 0 \end{cases}$

3. transformar o modelo primal para o dual depois passe a forma padrão (8.0)

$min z = 15x_1 + 11x_2 + 6x_3$

sa $\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 \ge 10 \\ 2x_1 + 5x_2 - x_3 \ge 12 \\ 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 \le 15 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 10 \end{cases}$

$x_1 \le 0; x_2 \le 0; x_3 \ge 0$

Accepted Answer

{ "quality": "clear", "question_count": 3, "skills_matched": [ "step_cot", "explain_then_answer", "tutor" ], "needs_drawing": false, "concepts_used": [], "new_concepts": [ "Programación Lineal", "Método Simplex", "Dualidad en Programación Lineal" ], "current_concepts": [ "Programación Lineal", "Método Simplex", "Dualidad en Programación Lineal" ] } ## Formular el modelo de producción Definimos las variables de decisión por hora: $x_1$: número de zapatos producidos por hora. $x_2$: número de cinturones producidos por hora. Tiempo requerido por unidad: - Zapato: $\frac{1}{6}$ de hora. - Cinturón: $\frac{1}{5}$ de hora. Restricción de tiempo (1 hora disponible): $$\frac{1}{6}x_1 + \frac{1}{5}x_2 \le 1 \implies 5x_1 + 6x_2 \le 30$$ Restricción de cuero (disponibilidad de 6 unidades): - Zapato usa 2 unidades de cuero. - Cinturón usa 1 unidad de cuero. $$2x_1 + x_2 \le 6$$ Función objetivo (maximizar beneficio): $$\text{Maximizar } Z = 5x_1 + 2x_2$$ ## Resolver por el método Simplex El modelo original es: $$\text{Maximizar } Z = 3x_1 + 5x_2$$ Sujeto a: $$2x_1 + 4x_2 \le 10$$ $$6x_1 + x_2 \le 20$$ $$x_1 - x_2 \le 30$$ $$x_1, x_2 \ge 0$$ Introducimos variables de holgura $s_1, s_2, s_3 \ge 0$: $$2x_1 + 4x_2 + s_1 = 10$$ $$6x_1 + x_2 + s_2 = 20$$ $$x_1 - x_2 + s_3 = 30$$ $$Z - 3x_1 - 5x_2 = 0$$ Tabla inicial: | Base | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | Solución | |---|---|---|---|---|---|---| | $s_1$ | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 10 | | $s_2$ | 6 | 1 | 0 | 1 | 0 | 20 | | $s_3$ | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 30 | | $Z$ | -3 | -5 | 0 | 0 | 0 | 0 | La variable que entra es $x_2$ (columna con el valor más negativo en la fila $Z$: $-5$). Prueba de razón mínima: - Fila 1: $\frac{10}{4} = 2.5$ (pivote) - Fila 2: $\frac{20}{1} = 20$ - Fila 3: No aplica (coeficiente negativo) Fila del pivote es la de $s_1$. Dividimos la fila 1 por 4: Nueva Fila 1: $[0.5, 1, 0.25, 0, 0, 2.5]$ Operaciones para eliminar $x_2$ de las otras filas: - Nueva Fila 2 = Fila 2 - Nueva Fila 1: $[6 - 0.5, 1 - 1, 0 - 0.25, 1, 0, 20 - 2.5] = [5.5, 0, -0.25, 1, 0, 17.5]$ - Nueva Fila 3 = Fila 3 + Nueva Fila 1: $[1 + 0.5, -1 + 1, 0 + 0.25, 0, 1, 30 + 2.5] = [1.5, 0, 0.25, 0, 1, 32.5]$ - Nueva Fila Z = Fila Z + 5 * Nueva Fila 1: $[-3 + 2.5, -5 + 5, 0 + 1.25, 0, 0, 0 + 12.5] = [-0.5, 0, 1.25, 0, 0, 12.5]$ Segunda tabla: | Base | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $s_3$ | Solución | |---|---|---|---|---|---|---| | $x_2$ | 0.5 | 1 | 0.25 | 0 | 0 | 2.5 | | $s_2$ | 5.5 | 0 | -0.25 | 1 | 0 | 17.5 | | $s_3$ | 1.5 | 0 | 0.25 | 0 | 1 | 32.5 | | $Z$ | -0.5 | 0 | 1.25 | 0 | 0 | 12.5 | Entra $x_1$ (coeficiente $-0.5$). Prueba de razón: - Fila 1: $\frac{2.5}{0.5} = 5$ - Fila 2: $\frac{17.5}{5.5} \approx 3.18$ (pivote) - Fila 3: $\frac{32.5}{1.5} \approx 21.67$ Dividimos la Fila 2 por 5.5: Nueva Fila 2: $[1, 0, -\frac{1}{22}, \frac{2}{11}, 0, \frac{35}{11}]$ Operaciones para eliminar $x_1$: - Nueva Fila 1 = Fila 1 - 0.5 * Nueva Fila 2: $[0, 1, \frac{3}{11}, -\frac{1}{11}, 0, \frac{10}{11}]$ - Nueva Fila Z = Fila Z + 0.5 * Nueva Fila 2: $[0, 0, \frac{27}{22}, \frac{1}{11}, 0, \frac{155}{11}]$ Como todos los coeficientes en la fila $Z$ son no negativos, se alcanza el óptimo: $x_1 = \frac{35}{11} \approx 3.18$, $x_2 = \frac{10}{11} \approx 0.91$, $Z = \frac{155}{11} \approx 14.09$. ## Transformar el modelo Primal a Dual Primal original: $$\text{Minimizar } Z = 15x_1 + 11x_2 + 6x_3$$ Sujeto a: 1) $x_1 - x_2 + x_3 \ge 10$ (asociada a $y_1 \ge 0$) 2) $2x_1 + 5x_2 - x_3 \ge 12$ (asociada a $y_2 \ge 0$) 3) $3x_1 + 2x_2 + 2x_3 \le 15 \implies -3x_1 - 2x_2 - 2x_3 \ge -15$ (asociada a $y_3 \le 0$) 4) $2x_1 - x_2 + x_3 = 10$ (asociada a $y_4$ libre) Variables del primal: $x_1 \le 0$, $x_2 \le 0$, $x_3 \ge 0$ Definimos el Dual: $$\text{Maximizar } W = 10y_1 + 12y_2 + 15y_3 + 10y_4$$ Restricciones del Dual (asociadas a las variables del primal): - Para $x_1 \le 0$: $$y_1 + 2y_2 + 3y_3 + 2y_4 \le 15$$ - Para $x_2 \le 0$: $$-y_1 + 5y_2 + 2y_3 - y_4 \le 11$$ - Para $x_3 \ge 0$: $$y_1 - y_2 + 2y_3 + y_4 \le 6$$ Condiciones de las variables duales: - Restricción 1 ($\ge$): $y_1 \ge 0$ - Restricción 2 ($\ge$): $y_2 \ge 0$ - Restricción 3 ($\le$): $y_3 \le 0$ - Restricción 4 ($=$): $y_4$ libre ## Pasar el modelo Dual a la forma Estándar Para llevar el modelo Dual (Maximización) a la forma estándar, transformamos las variables libres y de signo no estándar: Definimos $y_3 = -y_3'$ con $y_3' \ge 0$. Definimos $y_4 = y_4^+ - y_4^-$ con $y_4^+, y_4^- \ge 0$. Sustituyendo en la función objetivo y restricciones, y agregando variables de holgura $s_1, s_2, s_3 \ge 0$: Función Objetivo: $$\text{Maximizar } W = 10y_1 + 12y_2 - 15y_3' + 10y_4^+ - 10y_4^-$$ Sujeto a: $$y_1 + 2y_2 - 3y_3' + 2y_4^+ - 2y_4^- + s_1 = 15$$ $$-y_1 + 5y_2 - 2y_3' - y_4^+ + y_4^- + s_2 = 11$$ $$y_1 - y_2 - 2y_3' + y_4^+ - y_4^- + s_3 = 6$$ $$y_1, y_2, y_3', y_4^+, y_4^-, s_1, s_2, s_3 \ge 0$$ ## Pregunta 1 El modelo matemático de programación lineal para el sistema de producción es: **Variables de decisión:** * $x_1$: Número de zapatos producidos por hora. * $x_2$: Número de cinturones producidos por hora. **Función Objetivo:** $$\text{Maximizar } Z = 5x_1 + 2x_2$$ **Restricciones:** * Tiempo de producción: $\frac{1}{6}x_1 + \frac{1}{5}x_2 \le 1 \implies 5x_1 + 6x_2 \le 30$ * Disponibilidad de cuero: $2x_1 + x_2 \le 6$ * No negatividad: $x_1, x_2 \ge 0$ --- ## Pregunta 2 La solución óptima obtenida mediante el método Simplex es: * $x_1 = \frac{35}{11} \approx 3.18$ * $x_2 = \frac{10}{11} \approx 0.91$ * Valor óptimo de la función objetivo: $Z = \frac{155}{11} \approx 14.09$ --- ## Pregunta 3 **Modelo Dual:** $$\text{Maximizar } W = 10y_1 + 12y_2 + 15y_3 + 10y_4$$ Sujeto a: $$y_1 + 2y_2 + 3y_3 + 2y_4 \le 15$$ $$-y_1 + 5y_2 + 2y_3 - y_4 \le 11$$ $$y_1 - y_2 + 2y_3 + y_4 \le 6$$ Con las condiciones: $$y_1 \ge 0,\quad y_2 \ge 0,\quad y_3 \le 0,\quad y_4 \text{ libre}$$ **Forma Estándar del Dual:** Definiendo $y_3 = -y_3'$ (donde $y_3' \ge 0$), $y_4 = y_4^+ - y_4^-$ (donde $y_4^+, y_4^- \ge 0$) e introduciendo las variables de holgura $s_1, s_2, s_3 \ge 0$: $$\text{Maximizar } W = 10y_1 + 12y_2 - 15y_3' + 10y_4^+ - 10y_4^-$$ Sujeto a: $$y_1 + 2y_2 - 3y_3' + 2y_4^+ - 2y_4^- + s_1 = 15$$ $$-y_1 + 5y_2 - 2y_3' - y_4^+ + y_4^- + s_2 = 11$$ $$y_1 - y_2 - 2y_3' + y_4^+ - y_4^- + s_3 = 6$$ $$y_1, y_2, y_3', y_4^+, y_4^-, s_1, s_2, s_3 \ge 0$$ { "subject": "Mathematics", "question_type": "Multi-part", "knowledge_point": [ "Mathematics", "Algebra", "Programación Lineal" ] }

Base	\(x_1\)	\(x_2\)	\(s_2\)	\(s_3\)	Solución
\(s_2\)	6	1	1	0	20
\(s_3\)	1	-1	0	1	30
\(Z\)	-3	-5	0	0	0

Sovi.AI - AI Math Tutor

QUESTION IMAGE

Question

Explanation:

Formular el modelo de producción

Resolver por el método Simplex

Transformar el modelo Primal a Dual

Answer:

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Base	\(x_1\)	\(s_1\)	\(s_2\)	\(s_3\)	Solución
\(s_2\)	5.5	-0.25	1	0	17.5
\(s_3\)	1.5	0.25	0	1	32.5
\(Z\)	-0.5	1.25	0	0	12.5