Question

a rock is thrown straight up from the top of a bridge that is 75 ft high with an initial velocity of 32 ft/s. the height of the object can be modeled by the equation s(t)= -16t² + 32t + 75. determine the time(s) the ball is lower than the bridge in interval notation.
in two or more complete sentences, explain why (-∞,0) is not included in the solution.

Explanation:

Step1: Establecer la desigualdad

La altura del puente es 75 pies. Queremos cuando $s(t)<75$, es decir, $-16t^{2}+32t + 75<75$.

Step2: Simplificar la desigualdad

Restando 75 de ambos lados, obtenemos $-16t^{2}+32t<0$. Factorizando, $-16t(t - 2)<0$.

Step3: Encontrar las raíces

Igualando a cero, $-16t(t - 2)=0$, las raíces son $t = 0$ y $t=2$.

Step4: Analizar los intervalos

Tomamos los intervalos $(-\infty,0)$, $(0,2)$ y $(2,\infty)$. Probando valores en la desigualdad $-16t(t - 2)<0$, para $t=-1$: $-16(-1)(-1 - 2)=-48<0$, pero $t$ representa tiempo y no puede ser negativo. Para $t = 1$: $-16(1)(1 - 2)=16>0$. Para $t=3$: $-16(3)(3 - 2)=-48<0$. El intervalo válido es $(2,\infty)$.

Para explicar por qué $(-\infty,0)$ no está incluido: El tiempo $t$ en este contexto representa el tiempo transcurrido desde que se lanza la roca. Un valor negativo de $t$ no tiene sentido físico en este problema, ya que no podemos tener un tiempo antes del lanzamiento.

Answer:

El intervalo en el que la roca está por debajo del puente es $(2,\infty)$.