Question

physique - chimie 3ème
exercice n°8 : bepc 2007
une poutre homogène ab de masse m = 5 kg, de longueur l et de centre de gravité g ; est mobile avec des frottements négligeables autour d’un axe horizontal δ perpendiculaire en o à la poutre. cette poutre est maintenue horizontalement en équilibre grâce à un ressort à spires non jointives fixé en a (voir figure).

1. représenter sur un schéma les forces appliquées à la poutre.
2. calculer le poids de la poutre.
3. ecrire la condition d’équilibre de la poutre et en déduire la tension du ressort.
4. sachant que le ressort s’est allongé de 10cm, calculer sa constante de raideur.

données : ab = l = 6m ; ao = 1m ; g = 10n/kg.
image of a beam ab with o and g marked, and a spring at a

Explanation:

Step1: Calculer le poids de la poutre

Le poids \( P \) d'un objet est donné par la formule \( P = m \times g \), où \( m \) est la masse et \( g \) l'accélération de la gravité.
Données : \( m = 5 \, \text{kg} \), \( g = 10 \, \text{N/kg} \)
Donc, \( P = 5 \times 10 = 50 \, \text{N} \)

Step2: Condition d'équilibre et tension du ressort

La poutre est en équilibre rotatif autour de l'axe \( \Delta \) en \( O \). La condition d'équilibre des moments (ou couples) est que la somme des moments dans le sens horaire égale la somme des moments dans le sens anti - horaire.
Le moment d'une force \( F \) par rapport à un point \( O \) est \( M = F \times d \), où \( d \) est la longueur de la bras de levier (distance perpendiculaire de \( O \) à la ligne d'action de \( F \)).

• Le moment du poids \( P \) par rapport à \( O \) : Le centre de gravité \( G \) de la poutre homogène est au milieu de \( AB \), donc \( OG=\frac{l}{2}-AO \). Avec \( l = 6 \, \text{m} \) et \( AO = 1 \, \text{m} \), \( OG=\frac{6}{2}-1=3 - 1=2 \, \text{m} \). Le moment du poids \( M_P=P\times OG \) (sens horaire).
• Le moment de la tension \( T \) du ressort par rapport à \( O \) : La distance de \( O \) à la ligne d'action de \( T \) (qui est verticale, car le ressort est fixé en \( A \) et la poutre est horizontale) est \( AO = 1 \, \text{m} \). Le moment \( M_T=T\times AO \) (sens anti - horaire).

En équilibre, \( M_T = M_P \)
\( T\times AO=P\times OG \)
\( T\times1 = 50\times2 \)
Donc, \( T = 100 \, \text{N} \)

Step3: Calculer la constante de raideur du ressort

La loi de Hooke pour un ressort élastique est \( F = k\times\Delta x \), où \( F \) est la force appliquée (ici, \( F = T \)), \( k \) est la constante de raideur et \( \Delta x \) est l'allongement du ressort.
Données : \( T = 100 \, \text{N} \), \( \Delta x=10 \, \text{cm}=0.1 \, \text{m} \)
De \( T = k\times\Delta x \), on déduit \( k=\frac{T}{\Delta x} \)
\( k=\frac{100}{0.1}=1000 \, \text{N/m} \)

Answer:

1. Représentation des forces :

• Le poids \( P \) de la poutre, verticalement vers le bas, appliqué en \( G \).
• La tension \( T \) du ressort, verticalement vers le haut, appliquée en \( A \).
• La réaction \( R \) de l'axe \( \Delta \) en \( O \), mais pour l'équilibre rotatif, on peut se concentrer sur \( P \) et \( T \) dans un premier temps.

1. Le poids de la poutre est \( \boldsymbol{50 \, \text{N}} \)

1. La condition d'équilibre est \( \sum M_O = 0 \) (somme des moments par rapport à \( O \) est nulle). La tension du ressort est \( \boldsymbol{100 \, \text{N}} \)

1. La constante de raideur du ressort est \( \boldsymbol{1000 \, \text{N/m}} \)