Question

5 let $f(x) = 2x^2 + x - 3$ and $g(x) = x - 1$. find $dfrac{f(x)}{g(x)}$ and state its domain.
options:

• $dfrac{x - 1}{2x + 3}$, domain is the set of all real numbers except $-dfrac{3}{2}$
• $dfrac{2x + 3}{x - 1}$, domain is the set of all real numbers except 1
• $x - 1$, domain is the set of all real numbers
• $2x + 3$, domain is the set of all real numbers except 1

Explanation:

Step1: Factorizar \( f(x) \)

Factorizamos el polinomio cuadrático \( f(x) = 2x^2 + x - 3 \). Buscamos dos números que sumen \( 1 \) y multipliquen \( 2 \times (-3) = -6 \). Estos números son \( 3 \) y \( -2 \). Reescribimos el término \( x \):
\( 2x^2 + 3x - 2x - 3 \)
Agrupamos y factorizamos:
\( x(2x + 3) - 1(2x + 3) = (2x + 3)(x - 1) \)

Step2: Dividir \( f(x) \) por \( g(x) \)

Tenemos \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(2x + 3)(x - 1)}{x - 1} \). Cancelamos el factor común \( x - 1 \) (con la condición \( x
eq 1 \), ya que no podemos dividir por cero):
\( \frac{(2x + 3)(x - 1)}{x - 1} = 2x + 3 \) (para \( x
eq 1 \))

Step3: Determinar el dominio

El denominador original \( g(x) = x - 1 \) es cero cuando \( x = 1 \). Por lo tanto, el dominio de \( \frac{f(x)}{g(x)} \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( x = 1 \).

Answer:

\( 2x + 3 \), domain is the set of all real numbers except \( 1 \) (la opción correspondiente es la cuarta, que tiene \( 2x + 3 \), domain is the set of all real numbers except \( 1 \))