Question

benoît, un microbiologiste, effectue une expérience dans le but détudier lévolution de la population de deux espèces de bactéries, les pneumocoques et les streptocoques. il débute son expérience à treize heures. voici le relevé des mesures quil a recueillies jusquà maintenant :
pneumocoques
nombre de bactéries pneumocoques en fonction du nombre dheures
1- courbe (fonction quadratique)
2- (0,0)
streptocoques

• au début de lexpérience, il y avait deux bactéries streptocoques.
• à chaque heure, le nombre de bactéries est multiplié par trois.

à partir de quelle heure le nombre de bactéries streptocoques sera-t-il plus de 10 fois supérieur au nombre de bactéries pneumocoques?

Explanation:

Step1: Déterminer la fonction pour les streptocoques

Au début ($t = 0$), il y a $S(0)=2$ bactéries. À chaque heure ($t$), le nombre de bactéries est multiplié par $3$, donc la fonction est $S(t)=2\times3^{t}$

Step2: Récupérer les valeurs des pneumocoques à partir du graphique

• À $t = 1$ heure : $P(1)=12$
• À $t = 2$ heures : $P(2)=48$
• À $t = 3$ heures : $P(3)=108$
• À $t = 4$ heures : $P(4)=180$

Step3: Vérifier pour chaque heure la condition $S(t)>10\times P(t)$

• Pour $t = 1$ :

$S(1)=2\times3^{1}=6$ et $10\times P(1)=10\times12 = 120$, $6<120$

• Pour $t = 2$ :

$S(2)=2\times3^{2}=18$ et $10\times P(2)=10\times48 = 480$, $18<480$

• Pour $t = 3$ :

$S(3)=2\times3^{3}=54$ et $10\times P(3)=10\times108 = 1080$, $54<1080$

• Pour $t = 4$ :

$S(4)=2\times3^{4}=162$ et $10\times P(4)=10\times180 = 1800$, $162<1800$

• Pour $t = 5$ :

$S(5)=2\times3^{5}=486$
Si on suppose que la croissance des pneumocoques suit la courbe quadratique (on peut estimer, par exemple, si on considère la forme de la courbe). Si on suppose que la fonction des pneumocoques est $P(t)=at^{2}+bt + c$. En utilisant les points $(1,12)$, $(2,48)$, $(3,108)$
On résout le système :

$$\begin{cases}a + b + c=12\\4a+2b + c=48\\9a+3b + c=108\end{cases}$$

Soustraction $4a + 2b + c-(a + b + c)=48 - 12$ : $3a + b=36$
Soustraction $9a+3b + c-(4a + 2b + c)=108 - 48$ : $5a + b=60$
Soustraction $5a + b-(3a + b)=60 - 36$ : $2a=24\Rightarrow a = 12$
Alors $b=36-3\times12=0$ et $c=0$. Donc $P(t)=12t^{2}$
$P(5)=12\times25 = 300$ et $10\times P(5)=3000$, $486<3000$

• Pour $t=6$ :

$S(6)=2\times3^{6}=1458$
$P(6)=12\times36 = 432$ et $10\times P(6)=4320$, $1458<4320$

• Pour $t = 7$ :

$S(7)=2\times3^{7}=4374$
$P(7)=12\times49 = 588$ et $10\times P(7)=5880$, $4374<5880$

• Pour $t=8$ :

$S(8)=2\times3^{8}=13122$
$P(8)=12\times64 = 768$ et $10\times P(8)=7680$, $13122>7680$

Answer:

À partir de la 8ème heure.