Question

f(x) = -x² - 3, g(x) = x² - 14x + 48, h(x) = -x² - 8x - 16, k(x) = -2x² - 8x - 6

Explanation:

Step1: Analizar la dirección de apertura (signo del coeficiente \(x^2\))

• Para \(f(x) = -x^2 - 3\), el coeficiente de \(x^2\) es negativo (\(-1\)), por lo que la parábola se abre hacia abajo.
• Para \(g(x) = x^2 - 14x + 48\), el coeficiente de \(x^2\) es positivo (\(1\)), por lo que la parábola se abre hacia arriba.
• Para \(h(x) = -x^2 - 8x - 16\), el coeficiente de \(x^2\) es negativo (\(-1\)), se abre hacia abajo.
• Para \(k(x) = -2x^2 - 8x - 6\), el coeficiente de \(x^2\) es negativo (\(-2\)), se abre hacia abajo.

Step2: Encontrar el vértice o interceptos para identificar la gráfica

Para \(f(x) = -x^2 - 3\)

• Vértice en \(x = -\frac{b}{2a}\), donde \(a = -1\), \(b = 0\). Entonces \(x = 0\), y \(f(0) = -3\). La parábola tiene vértice en \((0, -3)\) y se abre hacia abajo.

Para \(g(x) = x^2 - 14x + 48\)

• Factorizar: \(g(x) = (x - 6)(x - 8)\), así que interceptos en \(x = 6\) y \(x = 8\), se abre hacia arriba.

Para \(h(x) = -x^2 - 8x - 16\)

• Completar el cuadrado: \(h(x) = -(x^2 + 8x + 16) = -(x + 4)^2\), vértice en \((-4, 0)\), se abre hacia abajo.

Para \(k(x) = -2x^2 - 8x - 6\)

• Factorizar: \(k(x) = -2(x^2 + 4x + 3) = -2(x + 1)(x + 3)\), interceptos en \(x = -1\) y \(x = -3\), se abre hacia abajo.

Step3: Emparejar con las gráficas

• Gráfica superior izquierda: Tiene vértice cerca de \((0, -3)\) y se abre hacia abajo → corresponde a \(f(x) = -x^2 - 3\).
• Gráfica superior derecha: Se abre hacia abajo y tiene un vértice más alto (valor de \(y\) positivo) → calcular vértice de \(k(x)\): \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(-2)} = -2\), \(k(-2) = -2(4) - 8(-2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2\). Entonces vértice en \((-2, 2)\), lo que coincide con la gráfica superior derecha → \(k(x) = -2x^2 - 8x - 6\).
• Gráfica inferior izquierda: Vértice en \((-4, 0)\) (ya que toca el eje \(x\) en \(x = -4\)) → corresponde a \(h(x) = -x^2 - 8x - 16 = -(x + 4)^2\).
• Gráfica inferior derecha: Se abre hacia arriba y tiene interceptos en \(x = 6\) y \(x = 8\) (ya que toca el eje \(x\) en \(x = 6\) y \(x = 8\)) → corresponde a \(g(x) = x^2 - 14x + 48\).

Answer:

• Gráfica superior izquierda: \(f(x) = -x^2 - 3\)
• Gráfica superior derecha: \(k(x) = -2x^2 - 8x - 6\)
• Gráfica inferior izquierda: \(h(x) = -x^2 - 8x - 16\)
• Gráfica inferior derecha: \(g(x) = x^2 - 14x + 48\)