Question

1. which equation represents a parabola opening downward with a vertex at the origin and a focus at (0, -2)?

options:
$y = \frac{1}{4}x^2$
$y = \frac{1}{8}x^2$
$y = -\frac{1}{4}x^2$
$y = -\frac{1}{8}x^2$

Explanation:

Step1: Recall parabola standard form

La forma estándar de una parábola con vértice en el origen, que se abre hacia abajo, es $x^2 = -4py$, donde $p$ es la distancia desde el vértice al foco.

Step2: Identificar valor de $p$

El foco está en $(0, -2)$, así que $p = 2$ (la distancia positiva desde el vértice al foco).

Step3: Sustituir $p$ en la fórmula

Sustituimos $p=2$ en la fórmula:
$$x^2 = -4(2)y$$
$$x^2 = -8y$$

Step4: Despejar $y$ para obtener la ecuación

Reorganizamos para despejar $y$:
$$y = -\frac{1}{8}x^2$$

Answer:

$\boldsymbol{y = -\frac{1}{8}x^2}$ (la primera opción de la derecha)