Question

use the intermediate value theorem to determine whether the given polynomial has at least one zero within the given interval.
a) ( f(x)=x^{3}-9 x ) between ( x=-4 ) and ( -2 ).
o yes, there is at least one zero between ( x=-4 ) and ( -2 ).
o no, there is no zero between ( x=-4 ) and ( -2 ).
o unable to determine.

Explanation:

Step1: Calcular \( f(-4) \)

Sustituir \( x = -4 \) en \( f(x)=x^{3}-9x \):

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step2: Calcular \( f(-2) \)

Sustituir \( x = -2 \) en \( f(x)=x^{3}-9x \):

$$
LATEXBLOCK1
$$

Step3: Aplicar el Teorema del Valor Intermedio

El Teorema del Valor Intermedio establece que si una función \( y = f(x) \) es continua en un intervalo cerrado \([a,b]\) y \( k \) es un número entre \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe al menos un número \( c\in(a,b) \) tal que \( f(c)=k \).
En este caso, \( f(x)=x^{3}-9x \) es un polinomio, por lo que es continua en \( (-\infty,\infty) \), en particular en \([-4,-2]\).
Como \( f(-4)=-28 \) y \( f(-2)=10 \), y \( 0 \) está entre \( -28 \) y \( 10 \) (\( -28<0<10 \)), entonces existe al menos un \( c\in(-4,-2) \) tal que \( f(c) = 0 \).

Answer:

C. Yes, there is at least one zero between \( x=-4 \) and \( x = -2 \).