Question

use the graph of the function $y = 4^x$ to answer the follow questions.
the domain of the function is to because an exponent can be an real number.
the range of the function is to because $4^x$ is always positive.

Explanation:

Step1: Analizar el dominio de \( y = 4^x \)

La función exponencial \( y = a^x \) (donde \( a>0, a
eq1 \)) tiene dominio todos los números reales, ya que el exponente \( x \) puede ser cualquier número real (positivo, negativo, cero). En la gráfica, se ve que la curva se extiende hacia la izquierda (para \( x \to -\infty \)) y hacia la derecha (para \( x \to +\infty \)), lo que confirma que \( x \) puede tomar cualquier valor real. Entonces, el dominio es de \( -\infty \) a \( +\infty \).

Step2: Analizar el rango de \( y = 4^x \)

Para la función exponencial \( y = 4^x \), como la base \( 4>1 \), la función es siempre positiva (porque cualquier potencia de un número positivo es positiva). Cuando \( x \to -\infty \), \( 4^x = \frac{1}{4^{|x|}} \to 0 \), y cuando \( x \to +\infty \), \( 4^x \to +\infty \). Entonces, el rango es de \( 0 \) a \( +\infty \) (o \( y > 0 \)).

Answer:

• Dominio: de \( -\infty \) a \( +\infty \) (porque el exponente \( x \) puede ser cualquier número real).
• Rango: de \( 0 \) a \( +\infty \) (porque \( 4^x \) es siempre positivo, se aproxima a \( 0 \) cuando \( x \to -\infty \) y tiende a \( +\infty \) cuando \( x \to +\infty \)).