Question

unit 3 – lesson 5 exit ticket: in the diagram shown, it is given that point r is the midpoint of both \\(\overline{np}\\) and \\(\overline{mq}\\). fill in the missing reasons to prove that \\(\triangle nrm \cong \triangle prq\\).
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$$\begin{tabular}{l|l} statement & reason \\\\ \\hline 1. \\(r\\) is the midpoint of \\(\\overline{np}\\) and \\(\\overline{mq}\\). & 1. ______________________________________________________________ \\\\ 2. \\(\\overline{nr} \\cong \\overline{pr}\\) and \\(\\overline{mr} \\cong \\overline{qr}\\) & 2. ______________________________________________________________ \\\\ 3. \\(\\angle nrm \\cong \\angle prq\\) & 3. ______________________________________________________________ \\\\ 4. \\(\\triangle nrm \\cong \\triangle prq\\) & 4. ______________________________________________________________ \\\\ \\end{tabular}$$

(diagram: two triangles \\(\triangle nrm\\) and \\(\triangle prq\\) with point \\(r\\) as the intersection of \\(\overline{np}\\) and \\(\overline{mq}\\), vertices labeled (n, m, r) and (p, q, r) respectively.)

Explanation:

Step 1: Dato

Se nos dice que \( R \) es el punto medio de \( \overline{NP} \) y \( \overline{MQ} \).

Step 2: Definición de punto medio

Si \( R \) es el punto medio de \( \overline{NP} \), entonces \( \overline{NR}\cong\overline{PR} \). Si \( R \) es el punto medio de \( \overline{MQ} \), entonces \( \overline{MR}\cong\overline{QR} \).

Step 3: Ángulos opuestos por el vértice

\( \angle NRM \) y \( \angle PRQ \) son ángulos opuestos por el vértice, por lo que son congruentes.

Step 4: Criterio de congruencia \( SAS \)

Tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos congruentes en \( \triangle NRM \) y \( \triangle PRQ \).

Answer:

1. Dato
2. Definición de punto medio
3. Ángulos opuestos por el vértice
4. Criterio \( SAS \) (lado - ángulo - lado)