Question

1. trouver $left.\frac{dy}{dx}

ight|_{x = 2}$ si $x^{2}y+xy^{2}=30$.

Explanation:

Step1: Différencier implicitement

Différencier $x^{2}y+xy^{2}=30$ par rapport à $x$.
En utilisant la règle du produit $(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$, on a :
$(x^{2}y)^\prime+(xy^{2})^\prime=(30)^\prime$.
$(x^{2})^\prime y + x^{2}y^\prime+(x)^\prime y^{2}+x(y^{2})^\prime = 0$.
$2xy+x^{2}y^\prime + y^{2}+2xyy^\prime=0$.

Step2: Isoler $y^\prime$

Regrouper les termes contenant $y^\prime$ :
$x^{2}y^\prime+2xyy^\prime=-2xy - y^{2}$.
$y^\prime(x^{2}+2xy)=-(2xy + y^{2})$.
Donc $y^\prime=-\frac{2xy + y^{2}}{x^{2}+2xy}$.

Step3: Trouver la valeur de $y$ pour $x = 2$

Quand $x = 2$, on a $4y+2y^{2}=30$, soit $y^{2}+2y - 15=0$.
Factoriser : $(y + 5)(y - 3)=0$. Donc $y=-5$ ou $y = 3$.

Step4: Calculer $y^\prime$ pour $x = 2$ et les valeurs de $y$

• Si $y=-5$ et $x = 2$ :

$y^\prime=-\frac{2\times2\times(-5)+(-5)^{2}}{2^{2}+2\times2\times(-5)}=-\frac{-20 + 25}{4-20}=-\frac{5}{-16}=\frac{5}{16}$.

• Si $y = 3$ et $x = 2$ :

$y^\prime=-\frac{2\times2\times3+3^{2}}{2^{2}+2\times2\times3}=-\frac{12 + 9}{4 + 12}=-\frac{21}{16}$.

Answer:

$\frac{5}{16}$ ou $-\frac{21}{16}$