Question

solve the following system of inequalities graphically on the set of axes below. state the coordinates of a point in the solution set.

$y \geq 3x - 6$

$y < -2x - 1$

graph of a coordinate plane with x-axis from -10 to 10 and y-axis from -10 to 10

answer
attempt 1 out of 2

point: (\square, \square)

Explanation:

Step1: Analizar la primera desigualdad \( y \geq 3x - 6 \)

La recta \( y = 3x - 6 \) tiene una pendiente de 3 y una intersección con el eje \( y \) en \( (0, -6) \). Dado que la desigualdad es \( \geq \), la región de solución es sobre la recta (la recta se dibuja sólida) y se sombrea la parte que satisface \( y \geq 3x - 6 \).

Step2: Analizar la segunda desigualdad \( y < -2x - 1 \)

La recta \( y = -2x - 1 \) tiene una pendiente de -2 y una intersección con el eje \( y \) en \( (0, -1) \). Dado que la desigualdad es \( < \), la región de solución es debajo de la recta (la recta se dibuja punteada) y se sombrea la parte que satisface \( y < -2x - 1 \).

Step3: Encontrar la región de intersección

La región de solución del sistema es la intersección de las dos regiones. Ahora, buscamos un punto que esté en esta región. Probemos \( x = 0 \):

• Para \( y \geq 3(0) - 6 \), tenemos \( y \geq -6 \).
• Para \( y < -2(0) - 1 \), tenemos \( y < -1 \).

Así, \( y \) debe estar entre -6 (inclusive) y -1 (exclusivo). Probemos \( y = -2 \) cuando \( x = 0 \):

• \( -2 \geq 3(0) - 6 \) → \( -2 \geq -6 \) (verdadero).
• \( -2 < -2(0) - 1 \) → \( -2 < -1 \) (verdadero).

Así, el punto \( (0, -2) \) está en la región de solución.

Answer:

Point: \( (0, -2) \)