Question

1. if \\( \overline { g h } \\) is rotated \\( 180 ^ { \circ } \\) about point \\( m \\), and point \\( m \\) does not lie on \\( \overline { g h } \\), then which of the following is true about \\( \overline { g h } \\) and its image \\( \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\)?

(1) \\( \overline { g h } \cong \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\) and \\( \overline { g h } \parallel \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\)
(2) \\( \overline { g h } \cong \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\) and \\( \overline { g h } \perp \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\)
(3) \\( \overline { g h } \\) and \\( \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\) are the same segment
(4) \\( m \\) is the midpoint of both \\( \overline { g h } \\) and \\( \overline { g ^ { \prime } h ^ { \prime } } \\)

Explanation:

Step1: Propiedades de la rotación

Una rotación de \(180^{\circ}\) es una transformación isométrica. Esto significa que la longitud del segmento no cambia, es decir, \(\overline{GH}\cong\overline{G'H'}\). Además, una rotación de \(180^{\circ}\) sobre un punto exterior al segmento hace que el segmento original y su imagen sean paralelos.

Step2: Analizar las opciones

• Opción (1):

Como la rotación es isométrica \(\overline{GH}\cong\overline{G'H'}\) y por las propiedades de la rotación de \(180^{\circ}\) sobre un punto exterior al segmento \(\overline{GH}\parallel\overline{G'H'}\).

• Opción (2):

No es cierto que \(\overline{GH}\perp\overline{G'H'}\) después de una rotación de \(180^{\circ}\) (a menos que el segmento sea de longitud cero, pero \(\overline{GH}\) es un segmento normal).

• Opción (3):

Como el punto \(M\) no está en \(\overline{GH}\), \(\overline{GH}\) y \(\overline{G'H'}\) no son el mismo segmento.

• Opción (4):

No hay razón para que \(M\) sea el punto medio de \(\overline{GH}\) (no se dice que \(M\) sea equidistante de \(G\) y \(H\) en el enunciado).

Answer:

1. \(\overline{GH}\cong\overline{G'H'}\) and \(\overline{GH}\parallel\overline{G'H'}\)