Question

resuelva la ecuación ( y = 2(2x - 5)^2 - 1 ) y ( y = 7 ) mediante gráficos y encontrar sus puntos de intersección. utilice los menús desplegables para completar las siguientes afirmaciones. las soluciones de ( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 ) son ( x = ) ( y = ) . ( (1, 5, 7) ) ( (3, 5, 7) ) son soluciones de .

Explanation:

Step1: Analizar la ecuación y la gráfica

La ecuación es \( y = 2(2x - 5)^2 - 1 \) y queremos encontrar las soluciones de \( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \), que es equivalente a encontrar los puntos de intersección de \( y = 2(2x - 5)^2 - 1 \) y \( y = 7 \).

Step2: Encontrar las intersecciones gráficas

Observando la gráfica, la parábola \( y = 2(2x - 5)^2 - 1 \) intersecciona la recta \( y = 7 \). Para encontrar las soluciones de \( x \), resolvemos \( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \):

1. Sumar 1 a ambos lados: \( 2(2x - 5)^2 = 8 \)
2. Dividir por 2: \( (2x - 5)^2 = 4 \)
3. Tomar raíces cuadradas: \( 2x - 5 = \pm 2 \)
4. Resolver para \( x \):

• Caso 1: \( 2x - 5 = 2 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5 \)
• Caso 2: \( 2x - 5 = -2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 \)

Pero la gráfica también muestra intersecciones? Wait, la gráfica dada parece tener ejes con \( x \) en 1,2,3,4 y \( y \) en 6,7,8... Wait, quizás hay un error de interpretación. Wait, la ecuación es \( y = 2(2x - 5)^2 - 1 \), y la recta \( y = 7 \). Al resolver, las soluciones de \( x \) son 1.5 y 3.5? Pero la gráfica muestra intersecciones con \( y = 7 \)? Wait, la gráfica en la imagen tiene \( y = 7 \) como una línea vertical? No, \( y = 7 \) es horizontal. Wait, la imagen muestra la parábola \( y = 2(2x - 5)^2 - 1 \) y la recta \( y = 7 \) (horizontal). Las intersecciones serían donde \( y = 7 \), así que las soluciones de \( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \) son los valores de \( x \) donde la parábola toca \( y = 7 \).

Pero la pregunta dice "las soluciones de \( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \) son" y luego opciones? Wait, la imagen muestra opciones como (1.5,7) y (3.5,7)? Wait, la pregunta es sobre los puntos de intersección, así que las soluciones de la ecuación \( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \) son los \( x \) tales que al sustituir, la ecuación se cumple, y los puntos de intersección son (x,7) donde \( x \) es la solución.

Así que resolviendo:

\( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \)

\( 2(2x - 5)^2 = 8 \)

\( (2x - 5)^2 = 4 \)

\( 2x - 5 = \pm 2 \)

\( 2x = 5 \pm 2 \)

\( 2x = 7 \) o \( 2x = 3 \)

\( x = 3.5 \) o \( x = 1.5 \)

Entonces los puntos de intersección son (1.5, 7) y (3.5, 7).

Answer:

Las soluciones de \( 2(2x - 5)^2 - 1 = 7 \) son los valores de \( x \) tales que los puntos de intersección son \( (1.5, 7) \) y \( (3.5, 7) \). Entonces las soluciones de la ecuación son \( x = 1.5 \) y \( x = 3.5 \), y los puntos de intersección son \( (1.5, 7) \) y \( (3.5, 7) \).