Question

question
express $324^{\frac{1}{4}}$ in simplest radical form.
answer attempt 1 out of 5

Explanation:

Step1: Recordar la propiedad de exponentes

La propiedad \( a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \), así que \( 324^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{324} \)

Step2: Factorizar 324

Factorizamos 324: \( 324 = 18\times18 = (2\times9)\times(2\times9)=2\times2\times9\times9 = 2^2\times9^2=2^2\times(3^2)^2 = 2^2\times3^4 \)

Step3: Simplificar la raíz cuarta

Sustituimos en la raíz: \( \sqrt[4]{324}=\sqrt[4]{2^2\times3^4} \)
Usamos la propiedad \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b} \) y \( \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} \)
Así, \( \sqrt[4]{2^2\times3^4}=\sqrt[4]{3^4}\times\sqrt[4]{2^2}=3\times\sqrt[4]{4} \)
Pero \( \sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^2}=2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \)? No, espera, mejor factorizar 324 de nuevo. Wait, 324 es \( 18^2 \), y \( 18 = 9\times2 = 3^2\times2 \), así que \( 324 = (3^2\times2)^2 = 3^4\times2^2 \). Ah, sí, entonces \( \sqrt[4]{3^4\times2^2}=3\times\sqrt[4]{2^2}=3\times\sqrt{2} \)? No, \( \sqrt[4]{2^2}=2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \)? Wait, no, \( \sqrt[4]{2^2}=\sqrt{\sqrt{2^2}}=\sqrt{2} \)? Wait, no, la raíz cuarta de \( 2^2 \) es \( (2^2)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \)? No, eso no es correcto. Wait, \( \sqrt[4]{2^2}=\sqrt[4]{4} \), y 4 es \( 2^2 \), pero también 4 es \( \sqrt{2}^2 \)? No, mejor: \( 324 = 81\times4 = 3^4\times2^2 \). Entonces \( \sqrt[4]{3^4\times2^2}=\sqrt[4]{3^4}\times\sqrt[4]{2^2}=3\times\sqrt[4]{4} \). Pero \( \sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2^2}=2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \)? No, \( \sqrt[4]{4} \) se puede escribir como \( \sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{2} \), pero también, \( 4 = 2^2 \), así que \( \sqrt[4]{2^2}=2^{2/4}=2^{1/2}=\sqrt{2} \). Wait, pero entonces \( 3\times\sqrt{2} \)? No, wait, 324 es \( 18^2 \), \( 18 = 9\times2 = 3^2\times2 \), así que \( 324 = (3^2\times2)^2 = 3^4\times2^2 \). Entonces \( \sqrt[4]{3^4\times2^2}=3\times\sqrt[4]{2^2}=3\times\sqrt{2} \)? Wait, no, \( \sqrt[4]{2^2} \) es \( 2^{2/4}=2^{1/2}=\sqrt{2} \), pero también, \( \sqrt[4]{4}=\sqrt{4}^{1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2} \). Pero quizás hay una forma mejor. Wait, 324 es \( 18^2 \), y \( 18 = \sqrt{324} \), pero para la raíz cuarta, \( 324^{\frac{1}{4}}=(324^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\sqrt{324}}=\sqrt{18} \)? No, eso no es correcto. Wait, no: \( (a^m)^n=a^{mn} \), así que \( 324^{\frac{1}{4}}=(324^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \). \( 324^{\frac{1}{2}}=\sqrt{324}=18 \), entonces \( 18^{\frac{1}{2}}=\sqrt{18} \), pero \( \sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2} \). Ah, sí, así que \( 324^{\frac{1}{4}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \)? Wait, no, wait: \( 324^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{324} \). Factorizamos 324: \( 324 = 2 \times 162 = 2 \times 2 \times 81 = 2^2 \times 9^2 = 2^2 \times (3^2)^2 = 2^2 \times 3^4 \). Entonces \( \sqrt[4]{2^2 \times 3^4} = \sqrt[4]{3^4} \times \sqrt[4]{2^2} = 3 \times \sqrt[4]{4} \). Pero \( \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \), porque \( \sqrt[4]{4} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \). Entonces \( 3 \times \sqrt{2} \)? Pero \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \), y \( 18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{18} \), y \( 324^{\frac{1}{4}} = (324^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \). Wait, pero también, \( \sqrt[4]{324} = \sqrt[4]{3^4 \times 2^2} = 3 \times \sqrt[4]{2^2} = 3 \times \sqrt{2} \) (porque \( \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \)). Entonces el radical simplificado es \( 3\sqrt{2} \)? Wait, no, wait, \( \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \), pero \( \sqrt[4]{324} = \sqrt[4]{3^4 \times 2^2} = 3 \times \sqrt[4]{2^2} = 3 \times 2^{2/4} = 3 \times 2^{1/2} = 3\sqrt{2} \). Sí, eso es correcto.

Wait, pero quizás me equivoqué en la factorización. Vamos a factorizar 324:

324 ÷ 2 = 162

162 ÷ 2 = 81

81 ÷ 3 = 27

27 ÷ 3 = 9

9 ÷ 3 = 3

3 ÷ 3 = 1

Así que 324 = 2² × 3⁴. Sí, así que \( \sqrt[4]{2² × 3⁴} = \sqrt[4]{3⁴} × \sqrt[4]{2²} = 3 × \sqrt[4]{4} \). Y \( \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \), porque \( 4 = 2² \), así que \( \sqrt[4]{2²} = 2^(2/4) = 2^(1/2) = \sqrt{2} \). Entonces \( 3 × \sqrt{2} \) es la forma radical simplificada? Wait, no, \( \sqrt[4]{4} \) se puede escribir como \( \sqrt{2} \), pero también, \( \sqrt[4]{4} = \sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{2} \), así que sí. Entonces \( 324^(1/4) = 3\sqrt{2} \)? Wait, pero \( 3\sqrt{2} \) es \( \sqrt{9×2} = \sqrt{18} \), y \( \sqrt{18} \) es \( 18^(1/2) \), y \( 324^(1/4) = (324^(1/2))^(1/2) = 18^(1/2) = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \). Sí, eso es correcto.

Answer:

\( 3\sqrt{2} \)