Question

questão 01. duas pequenas esferas a e b, apoiadas em uma mesa, são interligadas por um fio de 25 cm de comprimento. por meio de outro fio também de 25 cm, liga-se a esfera a a um prego p, fincado na mesa. a figura ilustra essa montagem:

as esferas são postas a girar em torno do prego, de modo que a, b e p permanecem sempre alinhados. em certo instante, b move-se a 10 m/s. determine nesse instante: (2,0 pontos)

a) a velocidade escalar angular de a e de b;

b) a velocidade escalar linear de a.

questão 02. anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. a sua construção mais conhecida é a proposta por robinson em 1846, que consiste em um rotor com quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura abaixo. em um anemômetro de robinson ideal, a velocidade do vento é dada pela velocidade linear das conchas. um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é r = 50 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v = 54 km/h, teria qual frequência de rotação em rpm (rotação por minuto)? considere \pi = 3,14. (2,0 pontos)

Explanation:

Identificar os dados da Questão 01

Analisamos o movimento circular das esferas \(A\) e \(B\).

• O fio que liga o prego \(P\) à esfera \(A\) tem comprimento \(R_A = 25\text{ cm} = 0,25\text{ m}\).
• O fio que liga a esfera \(A\) à esfera \(B\) também tem comprimento \(25\text{ cm}\). Logo, o raio da trajetória de \(B\) é \(R_B = R_A + 25\text{ cm} = 50\text{ cm} = 0,50\text{ m}\).
• As esferas \(A\), \(B\) e o prego \(P\) permanecem sempre alinhados. Isso significa que elas possuem a mesma velocidade angular:

$$\omega_A = \omega_B = \omega$$

• No instante considerado, a velocidade linear de \(B\) é \(v_B = 10\text{ m/s}\).

Calcular as velocidades angulares (Questão 01 - item a)

Utilizamos a relação entre velocidade linear e angular:

$$v = \omega \cdot R$$

Para a esfera \(B\):

$$v_B = \omega_B \cdot R_B \implies 10 = \omega_B \cdot 0,50 \implies \omega_B = 20\text{ rad/s}$$

Como as esferas estão alinhadas:

$$\omega_A = \omega_B = 20\text{ rad/s}$$

Calcular a velocidade linear de A (Questão 01 - item b)

Utilizamos a relação de velocidade linear para a esfera \(A\):

$$v_A = \omega_A \cdot R_A$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$v_A = 20 \cdot 0,25 = 5\text{ m/s}$$

Identificar os dados da Questão 02

Analisamos o anemômetro de Robinson.

• Velocidade linear das conchas (velocidade do vento): \(v = 54\text{ km/h}\).
• Convertendo para metros por segundo:

$$v = \frac{54}{3,6} = 15\text{ m/s}$$

• Distância entre as conchas e o centro de rotação (raio): \(r = 50\text{ cm} = 0,50\text{ m}\).
• Constante adotada: \(\pi = 3,14\).

Calcular a frequência de rotação em RPM (Questão 02)

A relação entre velocidade linear, raio e frequência \(f\) (em Hz) é:

$$v = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot r$$

Substituindo os valores:

$$15 = 2 \cdot 3,14 \cdot f \cdot 0,50$$

$$15 = 3,14 \cdot f \implies f = \frac{15}{3,14} \approx 4,777\text{ Hz}$$

Para converter a frequência de Hz (rotações por segundo) para RPM (rotações por minuto), multiplicamos por 60:

$$f_{\text{RPM}} = f \cdot 60 \approx 4,777 \cdot 60 \approx 286,62\text{ RPM}$$

Answer:

Question 1

a) A velocidade angular de \(A\) e de \(B\) é:

$$\omega_A = \omega_B = 20\text{ rad/s}$$

b) A velocidade escalar linear de \(A\) é:

$$v_A = 5\text{ m/s}$$

Question 2

A frequência de rotação do anemômetro é aproximadamente:

$$f \approx 286,6\text{ RPM}$$