Question

quelle est la rayon dun cercle ayant une aire de 2123.73 m²?
utilisant linformation donnée ci-dessous, déterminer lapothème du cône.
aire totale = 258,14 cm²
circonférence de la base = 37,70 cm
convertis les unités de mesure suivantes
75 hm² = _______________ mm²
437 875 cm² = _______________ m²
8 000 000 000 mm² = _______________ m²
78.875 cm² = _______________ dm²
143.751 m² = _______________ cm²
9005.487 dm² = _______________ m²
5712 dm² = _______________ km²
873 cm² = _______________ m²

Answer:

1. Calcul du rayon d'une sphère avec aire \( 2123,72 \, \text{m}^2 \)

Explication:

La formule de la surface d'une sphère est \( S = 4\pi r^2 \). On doit résoudre pour \( r \).

Step 1: Isoler \( r^2 \)

D'après la formule \( S = 4\pi r^2 \), on divise les deux côtés par \( 4\pi \) :
\( r^2 = \frac{S}{4\pi} \)

Step 2: Substituer \( S = 2123,72 \, \text{m}^2 \) et \( \pi \approx 3,14 \)

\( r^2 = \frac{2123,72}{4 \times 3,14} \)
Calculer le dénominateur : \( 4 \times 3,14 = 12,56 \)
Puis \( r^2 = \frac{2123,72}{12,56} = 169 \)

Step 3: Calculer \( r \)

Prendre la racine carrée de \( 169 \) :
\( r = \sqrt{169} = 13 \, \text{m} \)

2. Calcul de l'apothème d'un cône

Données : Aire totale \( A = 288,14 \, \text{cm}^2 \), Circonférence de la base \( C = 37,70 \, \text{cm} \)
La formule de l'aire totale d'un cône est \( A = \pi r l + \pi r^2 \), où \( l \) est l'apothème et \( r \) le rayon de la base. D'abord, trouver \( r \) à partir de la circonférence \( C = 2\pi r \).

Step 1: Trouver \( r \)

De \( C = 2\pi r \), on a \( r = \frac{C}{2\pi} \)
Substituer \( C = 37,70 \, \text{cm} \) et \( \pi \approx 3,14 \) :
\( r = \frac{37,70}{2 \times 3,14} = \frac{37,70}{6,28} = 6,00 \, \text{cm} \) (arrondi)

Step 2: Isoler \( l \) dans la formule de l'aire totale

\( A = \pi r l + \pi r^2 \)
On peut factoriser \( \pi r \) : \( A = \pi r (l + r) \)
Donc \( l + r = \frac{A}{\pi r} \)
Puis \( l = \frac{A}{\pi r} - r \)

Step 3: Substituer les valeurs

\( A = 288,14 \, \text{cm}^2 \), \( \pi \approx 3,14 \), \( r = 6 \, \text{cm} \)
Calculer \( \frac{A}{\pi r} = \frac{288,14}{3,14 \times 6} = \frac{288,14}{18,84} \approx 15,3 \) (arrondi)
Puis \( l = 15,3 - 6 = 9,3 \, \text{cm} \) (vérification : \( \pi r l + \pi r^2 = 3,14 \times 6 \times 9,3 + 3,14 \times 6^2 \approx 175,5 + 113,04 = 288,54 \), proche de \( 288,14 \) en raison des arrondis)

3. Conversion d'unités de surface

Rappels des facteurs de conversion :

• \( 1 \, \text{hm}^2 = 10^8 \, \text{mm}^2 \) (car \( 1 \, \text{hm} = 10^4 \, \text{mm} \), donc \( 1 \, \text{hm}^2 = (10^4)^2 = 10^8 \, \text{mm}^2 \))
• \( 1 \, \text{m}^2 = 10^4 \, \text{dm}^2 = 10^6 \, \text{cm}^2 = 10^{12} \, \text{mm}^2 \)
• \( 1 \, \text{km}^2 = 10^8 \, \text{dm}^2 \) (car \( 1 \, \text{km} = 10^4 \, \text{dm} \), donc \( 1 \, \text{km}^2 = (10^4)^2 = 10^8 \, \text{dm}^2 \))

1. \( 75 \, \text{hm}^2 \) en \( \text{mm}^2 \)

\( 75 \, \text{hm}^2 = 75 \times 10^8 \, \text{mm}^2 = 7,5 \times 10^9 \, \text{mm}^2 \)

2. \( 437875 \, \text{cm}^2 \) en \( \text{m}^2 \)

\( 1 \, \text{m}^2 = 10^6 \, \text{cm}^2 \), donc \( 437875 \, \text{cm}^2 = \frac{437875}{10^6} = 0,437875 \, \text{m}^2 \)

3. \( 8000000000 \, \text{mm}^2 \) en \( \text{m}^2 \)

\( 1 \, \text{m}^2 = 10^{12} \, \text{mm}^2 \), donc \( 8000000000 \, \text{mm}^2 = \frac{8000000000}{10^{12}} = 0,008 \, \text{m}^2 \) (ou \( 8 \times 10^{-3} \, \text{m}^2 \))

4. \( 78,875 \, \text{cm}^2 \) en \( \text{dm}^2 \)

\( 1 \, \text{dm}^2 = 100 \, \text{cm}^2 \), donc \( 78,875 \, \text{cm}^2 = \frac{78,875}{100} = 0,78875 \, \text{dm}^2 \)

5. \( 143,751 \, \text{m}^2 \) en \( \text{cm}^2 \)

\( 1 \, \text{m}^2 = 10^6 \, \text{cm}^2 \), donc \( 143,751 \, \text{m}^2 = 143,751 \times 10^6 = 143751000 \, \text{cm}^2 \) (ou \( 1,43751 \times 10^8 \, \text{cm}^2 \))

6. \( 9005,487 \, \text{dm}^2 \) en \( \text{m}^2 \)

\( 1 \, \text{m}^2 = 100 \, \text{dm}^2 \), donc \( 9005,487 \, \text{dm}^2 = \frac{9005,487}{100} = 90,05487 \, \text{m}^2 \)

7. \( 5712 \, \text{dm}^2 \) en \( \text{km}^2 \)

\( 1 \, \text{km}^2 = 10^8 \, \text{dm}^2 \), donc \( 5712 \, \text{dm}^2 = \frac{5712}{10^8} = 5,712 \times 10^{-5} \, \text{km}^2 \)

8. \( 673 \, \text{cm}^2 \) en \( \text{m}^2 \)

\( 1 \, \text{m}^2 = 10^6 \, \text{cm}^2 \), donc \( 673 \, \text{cm}^2 = \frac{673}{10^6} = 0,000673 \, \text{m}^2 \) (ou \( 6,73 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \))

Réponses :

1. Rayon de la sphère : \( \boldsymbol{13 \, \text{m}} \)
2. Apothème du cône : \( \boldsymbol{\approx 9,3 \, \text{cm}} \) (ou ajusté selon la précision)
3. Conversions :

• \( 75 \, \text{hm}^2 = \boldsymbol{7,5 \times 10^9 \, \text{mm}^2} \)
• \( 437875 \, \text{cm}^2 = \boldsymbol{0,437875 \, \text{m}^2} \)
• \( 8000000000 \, \text{mm}^2 = \boldsymbol{0,008 \, \text{m}^2} \)
• \( 78,875 \, \text{cm}^2 = \boldsymbol{0,78875 \, \text{dm}^2} \)
• \( 143,751 \, \text{m}^2 = \boldsymbol{143751000 \, \text{cm}^2} \)
• \( 9005,487 \, \text{dm}^2 = \boldsymbol{90,05487 \, \text{m}^2} \)
• \( 5712 \, \text{dm}^2 = \boldsymbol{5,712 \times 10^{-5} \, \text{km}^2} \)
• \( 673 \, \text{cm}^2 = \boldsymbol{0,000673 \, \text{m}^2} \)