Question

¿qué conjunto de pares ordenados podría generarse mediante una función exponencial?
(0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10)
(0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)
(0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)
(0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27)

Explanation:

Step1: Recordar la forma de una función exponencial

Una función exponencial tiene la forma \( f(x) = a \cdot b^x \), donde \( a
eq 0 \), \( b > 0 \) y \( b
eq 1 \). Cuando \( x = 0 \), \( f(0)=a\cdot b^0=a \), así que el par ordenado cuando \( x = 0 \) debe ser \( (0, a) \), donde \( a
eq 0 \) (porque si \( a = 0 \), la función sería la constante cero, no exponencial).

Step2: Analizar cada conjunto de pares ordenados

• Primer conjunto: \( (0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10) \). Verificamos la razón entre los valores de \( y \): \( \frac{2}{1}=2 \), \( \frac{5}{2}=2.5 \), \( \frac{10}{5}=2 \). Las razones no son constantes, así que no es exponencial.
• Segundo conjunto: \( (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9) \). Aquí, cuando \( x = 0 \), \( y = 0 \), pero para una función exponencial \( f(0)=a

eq0 \), así que descartamos este conjunto.

• Tercer conjunto: \( (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27) \). Cuando \( x = 0 \), \( y = 0 \), lo que no cumple con la forma de la función exponencial (ya que \( a = 0 \) no es permitido), así que descartamos este conjunto.
• Cuarto conjunto: \( (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27) \).
• Cuando \( x = 0 \), \( y = 1 \), así que \( a = 1 \).
• Cuando \( x = 1 \), \( y = 3 \), entonces \( f(1)=1\cdot b^1 = b = 3 \).
• Verificamos para \( x = 2 \): \( f(2)=1\cdot 3^2 = 9 \), que coincide con el par \( (2, 9) \).
• Para \( x = 3 \): \( f(3)=1\cdot 3^3 = 27 \), que coincide con el par \( (3, 27) \).
• Las razones entre los valores de \( y \) son constantes: \( \frac{3}{1}=3 \), \( \frac{9}{3}=3 \), \( \frac{27}{9}=3 \), lo que indica una función exponencial con \( a = 1 \) y \( b = 3 \), es decir, \( f(x)=3^x \).

Answer:

\( (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27) \)