Question

problème
le plan est muni dun repère orthonormé \\((o, i, j)\\).
lunité graphique est \\(2\text{cm}\\). soit \\(k\\) un nombre réel non nul.
on considère la fonction \\(f_k\\) dérivable sur \\(\mathbb{r}\\) et définie par : \\(f_k(x) = (2x + 4k)e^{-\frac{x}{2k}} - x\\). on note \\((\mathcal{c}_k)\\) la courbe représentative de la fonction \\(f_k\\).
le but du problème est détudier les fonctions \\(f_k\\), de construire la courbe \\((\mathcal{c}_1)\\) et de donner un programme de construction de la courbe \\((\mathcal{c}_k)\\) pour \\(k\\) différent de 1.

partie a : etude de la fonction auxiliaire.
soit \\(h\\) la fonction numérique dérivable sur \\(\mathbb{r}\\) et définie par : \\(h(x) = x + e^{\frac{x}{2}}\\)
1-) etudier le sens de variation de \\(h\\).

Explanation:

🆕 Nouveau concept : Étude des variations d'une fonction exponentielle
Analyser le signe de la dérivée pour trouver le sens de variation.

Step 1: Calcul de la fonction dérivée \( h'(x) \)

La fonction \( h \) est définie sur \( \mathbb{R} \) par :

$$ h(x) = x + e^{\frac{x}{2}} $$

Pour étudier ses variations, on commence par calculer sa dérivée \( h' \). La fonction \( h \) est une somme de deux fonctions dérivables sur \( \mathbb{R} \) :

• La dérivée de \( x \) est \( 1 \).
• La dérivée de \( e^{u(x)} \) est \( u'(x) e^{u(x)} \). Ici, \( u(x) = \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x \), donc \( u'(x) = \frac{1}{2} \).

On obtient :

$$ h'(x) = 1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} $$

Step 2: Étude du signe de \( h'(x) \)

Déterminons le signe de \( h'(x) \) pour tout réel \( x \) :

• Pour tout réel \( t \), la fonction exponentielle est strictement positive, donc \( e^{\frac{x}{2}} > 0 \).
• En multipliant par \( \frac{1}{2} \), on a \( \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} > 0 \).
• En ajoutant \( 1 \), on obtient :

$$ 1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} > 1 > 0 $$

Ainsi, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( h'(x) > 0 \).

Step 3: Déduction du sens de variation de \( h \)

Puisque la dérivée \( h'(x) \) est strictement positive sur \( \mathbb{R} \), la fonction \( h \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

Answer:

La fonction dérivée de \( h \) est :

$$ h'(x) = 1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} $$

Comme \( e^{\frac{x}{2}} > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a \( h'(x) > 0 \).

Par conséquent, la fonction \( h \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).