Question

a parabola can be drawn given a focus of $(6, -7)$ and a directrix of $y = -3$. write the equation of the parabola in any form. answer attempt 1 out of 2

Explanation:

Step1: Encontrar el vértice

El vértice \( (h,k) \) de una parábola es el punto medio entre el foco \( (x_f,y_f)=(6,-7) \) y la directriz \( y = - 3 \).
La fórmula para el punto medio en el eje \( y \) es \( k=\frac{y_f + y_d}{2} \), donde \( y_d=-3 \).
\( k=\frac{-7+( - 3)}{2}=\frac{-10}{2}=-5 \).
El vértice es \( (h,k)=(6,-5) \) (ya que la coordenada \( x \) del foco y el vértice es la misma, \( h = 6 \)).

Step2: Calcular la distancia \( p \)

La distancia \( p \) entre el vértice \( (h,k)=(6,-5) \) y el foco \( (6,-7) \) (o la directriz) se calcula como \( p=y_f - k \) (ya que la parábola se abre hacia abajo, \( p<0 \)).
\( p=-7-( - 5)=-2 \).

Step3: Escribir la ecuación de la parábola

La ecuación de una parábola en forma estándar \( (x - h)^2=4p(y - k) \).
Sustituyendo \( h = 6 \), \( k=-5 \) y \( p=-2 \):
\( (x - 6)^2=4\times(-2)(y + 5) \).
\( (x - 6)^2=-8(y + 5) \).

Answer:

\( (x - 6)^2=-8(y + 5) \)