Question

a parabola can be drawn given a focus of $(-6,9)$ and a directrix of $y = 3$. write the equation of the parabola in any form.

Explanation:

Step 1: Encontrar el vértice

El vértice \( (h,k) \) de una parábola es el punto medio entre el foco \( (x_f,y_f) \) y la directriz \( y = d \). Aquí, \( x_f=-6 \), \( y_f = 9 \) y \( d = 3 \).
El valor de \( h \) es \( x_f=-6 \).
El valor de \( k \) se calcula como \( k=\frac{y_f + d}{2}=\frac{9 + 3}{2}=6 \).
Así, el vértice es \( (-6,6) \).

Step 2: Encontrar la distancia \( p \)

La distancia \( p \) entre el vértice y el foco (o la directriz) se calcula como \( p=y_f - k \).
Sustituyendo \( y_f = 9 \) y \( k = 6 \), se obtiene \( p=9 - 6=3 \).

Step 3: Escribir la ecuación de la parábola

La ecuación de una parábola con vértice \( (h,k) \) y eje de simetría vertical \( x = h \) es \( (x - h)^2=4p(y - k) \).
Sustituyendo \( h=-6 \), \( k = 6 \) y \( p = 3 \), se obtiene \( (x+6)^2=4\times3\times(y - 6) \).
Simplificando, \( (x + 6)^2=12(y - 6) \).

Answer:

\( (x + 6)^2=12(y - 6) \)