Question

a parabola can be drawn given a focus of $(9,2)$ and a directrix of $x = 1$. write the equation of the parabola in any form.

Explanation:

Step1: Encontrar la ecuación del vértice

El vértice de una parábola es el punto medio entre el foco y la directriz.
Dado que el foco es \((9,2)\) y la directriz es \(x = 1\), la coordenada \(x\) del vértice es \(\frac{9 + 1}{2}=5\), y la coordenada \(y\) del vértice es \(2\) (ya que la parábola se abre horizontalmente, la coordenada \(y\) del vértice es la misma que la del foco). Entonces, el vértice \(V=(h,k)=(5,2)\).

Step2: Encontrar el valor de \(p\)

El valor de \(p\) es la distancia entre el vértice y el foco (o la directriz).
Como el foco es \((9,2)\) y el vértice es \((5,2)\), \(p=9 - 5 = 4\).

Step3: Escribir la ecuación de la parábola

La ecuación estándar de una parábola que se abre horizontalmente es \((y - k)^2=4p(x - h)\).
Sustituyendo \(h = 5\), \(k = 2\) y \(p = 4\) en la ecuación, obtenemos \((y - 2)^2=4\times4\times(x - 5)\).

Answer:

\((y - 2)^2 = 16(x - 5)\)