Question

\frac{\sqrt3{(n^8 \cdot n^{10})^2}}{\sqrt{n^{20}}}

Explanation:

Step1: Simplifier le numérateur (loi des exposants : \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\))

Dans le numérateur, on a \(n^8 \cdot n^{10}\). En utilisant la loi des exposants pour la multiplication, on obtient \(n^{8 + 10}=n^{18}\). Ensuite, on élève cela au carré : \((n^{18})^2\). En utilisant la loi \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), on a \(n^{18 \cdot 2}=n^{36}\). Maintenant, on prend la racine cubique de \(n^{36}\) : \(\sqrt[3]{n^{36}}\). Rappelons que \(\sqrt[k]{a^m}=a^{\frac{m}{k}}\), donc \(\sqrt[3]{n^{36}} = n^{\frac{36}{3}}=n^{12}\).

Step2: Simplifier le dénominateur

Le dénominateur est \(\sqrt{n^{20}}\). En utilisant la formule \(\sqrt{a^m}=a^{\frac{m}{2}}\) (puisque la racine carrée est une racine de degré 2), on a \(n^{\frac{20}{2}}=n^{10}\).

Step3: Diviser le numérateur simplifié par le dénominateur simplifié

On a \(\frac{n^{12}}{n^{10}}\). En utilisant la loi des exposants pour la division \(a^m \div a^n = a^{m - n}\), on obtient \(n^{12 - 10}=n^2\).

Answer:

\(n^2\)