Question

look at the system of inequalities.
$x - 3y \leq 3$
$2x + 3y \leq 24$
$x + 2y \geq 8$
$2x - 3y \geq -12$
the solution set is the quadrilateral region where all the inequalities are true.
what are the vertices of that quadrilateral region?
(\square, \square)
(\square, \square)
(\square, \square)
(\square, \square)

Explanation:

Step1: Resolver \( x - 3y = 3 \) y \( 2x + 3y = 24 \)

Sumar las dos ecuaciones: \( (x - 3y) + (2x + 3y) = 3 + 24 \) → \( 3x = 27 \) → \( x = 9 \). Sustituir \( x = 9 \) en \( x - 3y = 3 \): \( 9 - 3y = 3 \) → \( -3y = -6 \) → \( y = 2 \). Punto: \( (9, 2) \).

Step2: Resolver \( 2x + 3y = 24 \) y \( x + 2y = 8 \)

Despejar \( x \) de la segunda ecuación: \( x = 8 - 2y \). Sustituir en la primera: \( 2(8 - 2y) + 3y = 24 \) → \( 16 - 4y + 3y = 24 \) → \( -y = 8 \) → \( y = -8 \). Entonces \( x = 8 - 2(-8) = 24 \). Pero revisar con \( x + 2y \geq 8 \): \( 24 + 2(-8) = 8 \), válido. Pero revisar otras desigualdades. Wait, error: mejor usar \( x + 2y = 8 \) y \( 2x + 3y = 24 \). Correcto: \( x = 8 - 2y \), sustituir en \( 2x + 3y = 24 \): \( 16 - 4y + 3y = 24 \) → \( -y = 8 \) → \( y = -8 \), \( x = 24 \). Pero \( 2x - 3y \geq -12 \): \( 48 + 24 = 72 \geq -12 \), válido. Pero quizás otro par. Wait, mejor resolver \( x + 2y = 8 \) y \( 2x - 3y = -12 \).

Step3: Resolver \( x + 2y = 8 \) y \( 2x - 3y = -12 \)

Despejar \( x = 8 - 2y \), sustituir en \( 2x - 3y = -12 \): \( 2(8 - 2y) - 3y = -12 \) → \( 16 - 4y - 3y = -12 \) → \( -7y = -28 \) → \( y = 4 \). Entonces \( x = 8 - 8 = 0 \). Punto: \( (0, 4) \).

Step4: Resolver \( 2x - 3y = -12 \) y \( x - 3y = 3 \)

Restar las ecuaciones: \( (2x - 3y) - (x - 3y) = -12 - 3 \) → \( x = -15 \). Sustituir en \( x - 3y = 3 \): \( -15 - 3y = 3 \) → \( -3y = 18 \) → \( y = -6 \). Pero revisar \( x + 2y \geq 8 \): \( -15 - 12 = -27 \geq 8 \)? No. Error. Mejor resolver \( 2x - 3y = -12 \) y \( x - 3y = 3 \) es incorrecto. Volver: resolver \( 2x - 3y = -12 \) y \( x - 3y = 3 \) da \( x = -15 \), \( y = -6 \), no válido. Entonces resolver \( 2x - 3y = -12 \) y \( x + 2y = 8 \) (hecho en Step3: \( (0, 4) \)). Ahora resolver \( x - 3y = 3 \) y \( 2x - 3y = -12 \): restar: \( (x - 3y) - (2x - 3y) = 3 - (-12) \) → \( -x = 15 \) → \( x = -15 \), \( y = -6 \) (inválido). Entonces resolver \( x - 3y = 3 \) y \( x + 2y = 8 \): restar: \( (x - 3y) - (x + 2y) = 3 - 8 \) → \( -5y = -5 \) → \( y = 1 \), \( x = 6 \). Punto: \( (6, 1) \). Wait, let's list all intersections:

1. \( x - 3y = 3 \) y \( 2x + 3y = 24 \): \( (9, 2) \)
2. \( 2x + 3y = 24 \) y \( x + 2y = 8 \): \( x = 24 \), \( y = -8 \) (inválido, revisar)
Wait, error en Step2. Resolver \( 2x + 3y = 24 \) y \( x + 2y = 8 \): \( x = 8 - 2y \), sustituir en \( 2x + 3y = 24 \): \( 16 - 4y + 3y = 24 \) → \( -y = 8 \) → \( y = -8 \), \( x = 24 \). Now check \( 2x - 3y \geq -12 \): \( 48 + 24 = 72 \geq -12 \) (válido), \( x - 3y \leq 3 \): \( 24 + 24 = 48 \leq 3 \)? No. Entonces este punto no está en la región. Entonces la intersección de \( 2x + 3y = 24 \) y \( x + 2y = 8 \) es inválida. Entonces la próxima: \( x + 2y = 8 \) y \( 2x - 3y = -12 \): \( (0, 4) \) (válido, \( 0 + 8 = 8 \geq 8 \), \( 0 - 12 = -12 \geq -12 \), \( 0 + 12 = 12 \leq 24 \), \( 0 - 12 = -12 \leq 3 \)). Luego \( 2x - 3y = -12 \) y \( x - 3y = 3 \): inválido. Entonces \( x - 3y = 3 \) y \( 2x - 3y = -12 \): inválido. Entonces la cuarta intersección: \( x - 3y = 3 \) y \( x + 2y = 8 \): restar: \( -5y = -5 \) → \( y = 1 \), \( x = 6 \). Punto \( (6, 1) \). Ahora revisar:

- \( (6, 1) \): \( 6 - 3(1) = 3 \leq 3 \), \( 12 + 3 = 15 \leq 24 \), \( 6 + 2 = 8 \geq 8 \), \( 12 - 3 = 9 \geq -12 \). Válido.
- \( (9, 2) \): \( 9 - 6 = 3 \leq 3 \), \( 18 + 6 = 24 \leq 24 \), \( 9 + 4 = 13 \geq 8 \), \( 18 - 6 = 12 \geq -12 \). Válido.
- \( (24, -8) \): inválido (no cumple \( x - 3y \leq 3 \)).
- \( (0, 4) \): \( 0 - 12 = -12 \leq 3 \), \( 0 + 12 = 12 \leq 24 \), \( 0 + 8 = 8 \geq 8 \), \( 0 - 12 = -12 \geq -12 \). Válido.
- Ahora resolver \( 2x - 3y = -12 \) y \( x - 3y = 3 \): inválido. Entonces la cuarta intersección: \( 2x - 3y = -12 \) y \( x + 2y = 8 \) es \( (0, 4) \), \( x - 3y = 3 \) y \( x + 2y = 8 \) es \( (6, 1) \), \( x - 3y = 3 \) y \( 2x + 3y = 24 \) es \( (9, 2) \), y la última: \( 2x + 3y = 24 \) y \( 2x - 3y = -12 \). Sumar: \( 4x = 12 \) → \( x = 3 \), \( 3y = 12 \) → \( y = 4 \). Punto \( (3, 6) \). Revisar: \( 3 - 18 = -15 \leq 3 \), \( 6 + 18 = 24 \leq 24 \), \( 3 + 12 = 15 \geq 8 \), \( 6 - 18 = -12 \geq -12 \). Válido.

Ah, error anterior. Resolver \( 2x + 3y = 24 \) y \( 2x - 3y = -12 \): sumar: \( 4x = 12 \) → \( x = 3 \), entonces \( 3y = 24 - 6 = 18 \) → \( y = 6 \). Punto \( (3, 6) \).

Ahora revisar todas las intersecciones:

1. \( x - 3y = 3 \) y \( 2x + 3y = 24 \): \( (9, 2) \)
2. \( 2x + 3y = 24 \) y \( 2x - 3y = -12 \): \( (3, 6) \)
3. \( 2x - 3y = -12 \) y \( x + 2y = 8 \): \( (0, 4) \)
4. \( x + 2y = 8 \) y \( x - 3y = 3 \): \( (6, 1) \)

Wait, revisar \( (3, 6) \) en \( x + 2y \geq 8 \): \( 3 + 12 = 15 \geq 8 \), válido. \( (0, 4) \) en \( 2x + 3y \leq 24 \): \( 0 + 12 = 12 \leq 24 \), válido. \( (6, 1) \) en \( 2x - 3y \geq -12 \): \( 12 - 3 = 9 \geq -12 \), válido. \( (9, 2) \) en todas, válido.

Answer:

\( (6, 1) \)
\( (9, 2) \)
\( (3, 6) \)
\( (0, 4) \)