Question

1. let ( f(x) = -20x^2 + 14x + 12 ) and ( g(x) = 5x - 6 ). find ( \frac{f}{g} ) and state its domain.

( \bigcirc ) ( 5x - 6 ), all real numbers

( \bigcirc ) ( -4x - 2 ), all real numbers

( \bigcirc ) ( 5x - 6 ), all real numbers except ( x = \frac{6}{5} )

( \bigcirc ) ( -4x - 2 ), all real numbers except ( x = \frac{6}{5} )

Explanation:

Step1: Encontrar \( \frac{f(x)}{g(x)} \)

Dado \( f(x) = -20x^2 + 14x + 12 \) y \( g(x) = 5x - 6 \), entonces \( \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-20x^2 + 14x + 12}{5x - 6} \). Factorizamos el numerador:
Primero, sacamos un factor común de -2: \( -2(10x^2 - 7x - 6) \). Luego factorizamos \( 10x^2 - 7x - 6 \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 10\times(-6)= -60 \) y sumados den -7. Estos números son -12 y 5. Entonces:
\( 10x^2 - 12x + 5x - 6 = 2x(5x - 6) + 1(5x - 6) = (2x + 1)(5x - 6) \). Entonces el numerador es \( -2(2x + 1)(5x - 6) \).
Así, \( \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{-2(2x + 1)(5x - 6)}{5x - 6} \).

Step2: Simplificar la fracción

Cancelamos el factor \( 5x - 6 \) (con la condición de que \( 5x - 6
eq0 \), es decir, \( x
eq\frac{6}{5} \)):
\( \frac{f(x)}{g(x)}=-2(2x + 1)= -4x - 2 \).

Step3: Determinar el dominio

El dominio de \( \frac{f}{g} \) es todos los números reales excepto los valores que hacen que \( g(x) = 0 \). Resolviendo \( 5x - 6 = 0 \), tenemos \( x=\frac{6}{5} \). Entonces el dominio es todos los números reales excepto \( x = \frac{6}{5} \).

Answer:

-4x - 2; all real numbers except \( x = \frac{6}{5} \)