Question

the length of a rectangle is 3 ft less than twice the width, and the area of the rectangle is 65 ft². find the dimensions of the rectangle.

Explanation:

Step1: 设宽为\(x\)

根据题意，长为\(2x - 3\)。

Step2: 列方程

因为矩形面积\(S=\)长\(\times\)宽，已知面积为\(65\mathrm{ft}^2\)，所以\(x(2x - 3)=65\)。
展开方程得\(2x^{2}-3x - 65 = 0\)。

Step3: 解方程

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（这里\(a = 2\)，\(b=-3\)，\(c = - 65\)），根据求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)。
先计算判别式\(\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times2\times(-65)=9 + 520 = 529\)。
则\(x=\frac{3\pm\sqrt{529}}{4}=\frac{3\pm23}{4}\)。
得到\(x_1=\frac{3 + 23}{4}=\frac{26}{4}=6.5\)，\(x_2=\frac{3-23}{4}=\frac{-20}{4}=-5\)（因为宽度不能为负，舍去）。

Step4: 求长

把\(x = 6.5\)代入长\(2x - 3\)，得长为\(2\times6.5-3=13 - 3 = 10\)。

Answer:

宽：\(6.5\mathrm{ft}\)，长：\(10\mathrm{ft}\)。