Question

1. laire du rectangle abcd ci-contre se traduit par lexpression algébrique $(8x^{2}+18x + 9)cm^{2}$ et la mesure du segment hc par $(x + 1)cm$. sachant que laire du rectangle abcd est de $740cm^{2}$, calculez laire du triangle dph.

Explanation:

Step1: Résoudre l'équation \(8x^{2}+18x + 9=740\)

On a \(8x^{2}+18x+9 - 740=0\), soit \(8x^{2}+18x - 731 = 0\).
En utilisant la formule quadratique \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) avec \(a = 8\), \(b = 18\) et \(c=-731\).
\(\Delta=b^{2}-4ac=(18)^{2}-4\times8\times(-731)=324 + 23392=23716\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{23716}=154\)
\(x=\frac{-18\pm154}{16}\)
On a deux solutions : \(x_{1}=\frac{-18 + 154}{16}=\frac{136}{16}=\frac{17}{2}=8,5\) et \(x_{2}=\frac{-18-154}{16}=\frac{-172}{16}=-10,75\)
Comme \(x>0\), on retient \(x = 8,5\)

Step2: Calculer la longueur de \(HC\)

Comme \(HC=x + 1\), avec \(x = 8,5\), alors \(HC=8,5+1=9,5\mathrm{cm}\)

Step3: Calculer la hauteur du rectangle (égal à la hauteur du triangle \(DPH\))

Soit \(l\) la longueur du rectangle. On sait que l'aire du rectangle \(A = l\times w\) (où \(w=HC\) et \(A = 740\mathrm{cm}^{2}\)).
\(l=\frac{740}{9,5}=\frac{7400}{95}=\frac{1480}{19}\mathrm{cm}\)

Step4: Calculer l'aire du triangle \(DPH\)

L'aire d'un triangle est \(A_{\triangle}=\frac{1}{2}\times base\times hauteur\).
La base \(DH\) : \(DH = DC - HC\).
On sait que \(DC=\frac{8x^{2}+18x + 9}{x + 1}\). En remplaçant \(x = 8,5\), \(8x^{2}+18x+9=8\times(8,5)^{2}+18\times8,5 + 9=8\times72,25+153 + 9=578+153 + 9=740\) et \(x + 1=9,5\), \(DC=\frac{740}{9,5}\)
\(DH=\frac{740}{9,5}-9,5=\frac{740-90,25}{9,5}=\frac{649,75}{9,5}\)
L'aire du triangle \(A_{\triangle DPH}=\frac{1}{2}\times DH\times hauteur\) (la hauteur est la même que celle du rectangle)
\(A_{\triangle DPH}=\frac{1}{2}\times\frac{740}{9,5}\times\frac{740}{9,5}\div\frac{740}{9,5}\) (autre méthode : puisque l'aire du rectangle \(A = 740\), et le triangle \(DPH\) a la même hauteur que le rectangle et \(DH + HC=DC\), et l'aire du triangle \(A_{\triangle}=\frac{1}{2}\times DC\times hauteur-\frac{1}{2}\times HC\times hauteur\) non. En réalité, puisque le triangle \(DPH\) a \(base = DH\) et \(hauteur = AD\) (hauteur du rectangle).
On sait que \(AD=\frac{740}{DC}\) et \(DC=\frac{8x^{2}+18x + 9}{x + 1}\) (avec \(x = 8,5\), \(DC = 740\div9,5\))
\(AD = 9,5\)
\(DH=DC - HC\), \(DC=\frac{740}{9,5}\), \(HC = 9,5\)
\(DH=\frac{740-90,25}{9,5}=\frac{649,75}{9,5}\)
\(A_{\triangle DPH}=\frac{1}{2}\times\frac{649,75}{9,5}\times9,5=\frac{649,75}{2}=324,875\mathrm{cm}^{2}\)

Answer:

\(324,875\mathrm{cm}^{2}\)