ire : conakry
dce : matoto
etablissement : c.s hafac
bac blanc
epreuve de : mathématiques
niveau : t sm
durée : 4 heures
session 2026
sujet

exercice 1 : on considère la suite $(a_n)$ définie sur $\mathbb{n}$, par : $a_n = 2 \times 5^n + 7$
1-a) justifier que quel que soit $n \in \mathbb{n}$, $a_n$ est impair.
b) déterminer suivant $n$, le reste modulo 8 de $5^n$.
c) en déduire que quel que soit $n \in \mathbb{n}$, $a_n \equiv 1 8$.
2-a) montrer que : si $\begin{cases} x \equiv 1 8 \\ x \equiv 7 125 \end{cases}$ alors $x \equiv 257 1000$.
b) montrer que pour $n \ge 3$, $a_n \equiv 257 1000$.
c) quels sont les trois derniers chiffres de lentier : $(2 \times 5^{2020} + 7)(2 \times 5^{2021} + 7)$ ?
3-a) vérifier que $\forall n \in \mathbb{n}$, $5a_{2n} - a_{2n+1} = 28$.
b) soit $d$ le pgcd de $a_{2n}$ et $a_{2n+1}$. montrer que $d \
e 7$.
c) trouver alors $d$.

exercice 2 : abcd est un trapèze non rectangle tels que la droite (ab) est parallèle à la droite (cd). on désigne par i, j, o les milieux respectifs de ab, cd et ij.
1-) déterminer et construire lensemble des points m du plan tels que : $\|\overrightarrow{ma} + \overrightarrow{mb}\| = \|\overrightarrow{mc} + \overrightarrow{md}\|$.
2-) les médiatrices des côtés ad et bc se coupent en g.
démontrer que : $ga^2 + gb^2 = gc^2 + gd^2$.
3-) soit $(e_2)$ lensemble des points m du plan tels que : $ma^2 + mb^2 = mc^2 + md^2$.
a) justifier que $(e_2)$ est non vide.
b) démontrer que $m \in (e_2) \iff \overrightarrow{ij} \cdot \overrightarrow{om} = k$ (où $k$ est une constante).
c) en déduire que $m \in (e_2) \iff \overrightarrow{ij} \cdot \overrightarrow{gm} = 0$.
d) déterminer et construire $(e_2)$.

exercice 3 : une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. on en prélève $n$ successivement et avec remise, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. on considère les deux évènements suivants :
a : « on obtient des boules des deux couleurs »
b : « on obtient au plus une blanche »
1-a) calculer la probabilité de lévènement « toutes les boules tirées sont de même couleur ».
b) calculer la probabilité de lévènement « on obtient exactement une boule blanche ».
c) en déduire que les probabilités : $p(a \cap b)$, $p(a)$, $p(b)$ sont :
$p(a \cap b) = \frac{n}{2^n}$, $p(a) = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$, $p(b) = \frac{n+1}{2^n}$.
2-) montrer que : $p(a \cap b) = p(a) \times p(b)$ si et seulement si $2^{n-1} = n + 1$.
3-) soit $(u_n)$ la suite définie par tout entier naturel supérieur ou égal à deux pour :
$u_n = 2^{n-1} - (n + 1)$
calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
4-) en déduire la valeur de lentier $n$ tel que les évènements a et b soient indépendants.

problème
le plan est muni dun repère orthonormé (o, i, j).
lunité graphique est 2cm. soit k un nombre réel non nul.
on considère la fonction $f_k$ dérivable sur $\mathbb{r}$ et définie par : $f_k(x) = (2x + 4k)e^{-\frac{x}{2k}} - x$. on $(\mathcal{c}_k)$ la courbe représentative de la fonction $f_k$.
le but du problème est détudier les fonctions $f_k$, de construire la courbe $(\mathcal{c}_1)$ et de donner un programme de construction de la courbe $(\mathcal{c}_k)$ pour k différent de 1.
partie a : etude de la fonction auxiliaire.
soit h la fonction numérique dérivable sur $\mathbb{r}$ et définie par : \(h(x) = x + e^{\frac{x}{2}}
1-) etudier le sens de variation de h.

Question

ire : conakry
dce : matoto
etablissement : c.s hafac
bac blanc
epreuve de : mathématiques
niveau : t sm
durée : 4 heures
session 2026
sujet

exercice 1 : on considère la suite $(a_n)$ définie sur $\mathbb{n}$, par : $a_n = 2 \times 5^n + 7$
1-a) justifier que quel que soit $n \in \mathbb{n}$, $a_n$ est impair.
b) déterminer suivant $n$, le reste modulo 8 de $5^n$.
c) en déduire que quel que soit $n \in \mathbb{n}$, $a_n \equiv 1 8$.
2-a) montrer que : si $\begin{cases} x \equiv 1 8 \\ x \equiv 7 125 \end{cases}$ alors $x \equiv 257 1000$.
b) montrer que pour $n \ge 3$, $a_n \equiv 257 1000$.
c) quels sont les trois derniers chiffres de lentier : $(2 \times 5^{2020} + 7)(2 \times 5^{2021} + 7)$ ?
3-a) vérifier que $\forall n \in \mathbb{n}$, $5a_{2n} - a_{2n+1} = 28$.
b) soit $d$ le pgcd de $a_{2n}$ et $a_{2n+1}$. montrer que $d \
e 7$.
c) trouver alors $d$.

exercice 2 : abcd est un trapèze non rectangle tels que la droite (ab) est parallèle à la droite (cd). on désigne par i, j, o les milieux respectifs de ab, cd et ij.
1-) déterminer et construire lensemble des points m du plan tels que : $\|\overrightarrow{ma} + \overrightarrow{mb}\| = \|\overrightarrow{mc} + \overrightarrow{md}\|$.
2-) les médiatrices des côtés ad et bc se coupent en g.
démontrer que : $ga^2 + gb^2 = gc^2 + gd^2$.
3-) soit $(e_2)$ lensemble des points m du plan tels que : $ma^2 + mb^2 = mc^2 + md^2$.
a) justifier que $(e_2)$ est non vide.
b) démontrer que $m \in (e_2) \iff \overrightarrow{ij} \cdot \overrightarrow{om} = k$ (où $k$ est une constante).
c) en déduire que $m \in (e_2) \iff \overrightarrow{ij} \cdot \overrightarrow{gm} = 0$.
d) déterminer et construire $(e_2)$.

exercice 3 : une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. on en prélève $n$ successivement et avec remise, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. on considère les deux évènements suivants :
a : « on obtient des boules des deux couleurs »
b : « on obtient au plus une blanche »
1-a) calculer la probabilité de lévènement « toutes les boules tirées sont de même couleur ».
b) calculer la probabilité de lévènement « on obtient exactement une boule blanche ».
c) en déduire que les probabilités : $p(a \cap b)$, $p(a)$, $p(b)$ sont :
$p(a \cap b) = \frac{n}{2^n}$, $p(a) = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$, $p(b) = \frac{n+1}{2^n}$.
2-) montrer que : $p(a \cap b) = p(a) \times p(b)$ si et seulement si $2^{n-1} = n + 1$.
3-) soit $(u_n)$ la suite définie par tout entier naturel supérieur ou égal à deux pour :
$u_n = 2^{n-1} - (n + 1)$
calculer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
4-) en déduire la valeur de lentier $n$ tel que les évènements a et b soient indépendants.

problème
le plan est muni dun repère orthonormé (o, i, j).
lunité graphique est 2cm. soit k un nombre réel non nul.
on considère la fonction $f_k$ dérivable sur $\mathbb{r}$ et définie par : $f_k(x) = (2x + 4k)e^{-\frac{x}{2k}} - x$. on $(\mathcal{c}_k)$ la courbe représentative de la fonction $f_k$.
le but du problème est détudier les fonctions $f_k$, de construire la courbe $(\mathcal{c}_1)$ et de donner un programme de construction de la courbe $(\mathcal{c}_k)$ pour k différent de 1.
partie a : etude de la fonction auxiliaire.
soit h la fonction numérique dérivable sur $\mathbb{r}$ et définie par : \(h(x) = x + e^{\frac{x}{2}}
1-) etudier le sens de variation de h.

Accepted Answer

Voici la résolution détaillée et rigoureuse de l'**Exercice 1** présenté sur le sujet de Bac Blanc.

# Explanation:

🆕 New Concept Discovered: Arithmétique modulaire et suites
*Étude des restes et des congruences pour les puissances d'un entier.*

---

## Step 1: Justification de la parité de $ a_n $ (Question 1-a)

Pour tout entier naturel $ n $, on définit la suite par :
$$ a_n = 2 \times 5^n + 7 $$

Pour montrer que $ a_n $ est impair, analysons la structure de l'expression :
- Le terme $ 2 \times 5^n $ est un multiple de $ 2 $, il est donc pair pour tout $ n \in \mathbb{N} $.
- Le nombre $ 7 $ est un nombre impair.

La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours un nombre impair.
Par conséquent, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ a_n $ est impair.

---

## Step 2: Détermination du reste modulo 8 de $ 5^n $ (Question 1-b)

Étudions les puissances de $ 5 $ modulo $ 8 $ :
- Pour $ n = 0 $ : $ 5^0 = 1 \equiv 1 \pmod 8 $
- Pour $ n = 1 $ : $ 5^1 = 5 \equiv 5 \pmod 8 $
- Pour $ n = 2 $ : $ 5^2 = 25 = 3 \times 8 + 1 \equiv 1 \pmod 8 $

On observe une périodicité de période $ 2 $. Discutons selon la parité de $ n $ :
- Si $ n $ est pair ($ n = 2p $, avec $ p \in \mathbb{N} $) :
  $$ 5^{2p} = (5^2)^p \equiv 1^p \equiv 1 \pmod 8 $$
- Si $ n $ est impair ($ n = 2p + 1 $, avec $ p \in \mathbb{N} $) :
  $$ 5^{2p+1} = 5 \times 5^{2p} \equiv 5 \times 1 \equiv 5 \pmod 8 $$

**Conclusion :**
Le reste de $ 5^n $ modulo $ 8 $ est :
- $ 1 $ si $ n $ est pair.
- $ 5 $ si $ n $ est impair.

---

## Step 3: Déduction de la congruence de $ a_n $ modulo 8 (Question 1-c)

Utilisons les résultats de la question précédente pour évaluer $ a_n = 2 \times 5^n + 7 \pmod 8 $ :

- **Cas 1 : $ n $ est pair**
  $$ 5^n \equiv 1 \pmod 8 $$
  $$ a_n = 2 \times 5^n + 7 \equiv 2(1) + 7 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 8 $$

- **Cas 2 : $ n $ est impair**
  $$ 5^n \equiv 5 \pmod 8 $$
  $$ a_n = 2 \times 5^n + 7 \equiv 2(5) + 7 \equiv 10 + 7 \equiv 17 \equiv 1 \pmod 8 $$

Dans les deux cas, on obtient le même reste. Ainsi, pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
$$ a_n \equiv 1 \pmod 8 $$

---

## Step 4: Résolution du système de congruences (Question 2-a)

Soit le système d'équations de congruences suivant :
$$ \begin{cases} x \equiv 1 \pmod 8 \ x \equiv 7 \pmod{125} \end{cases} $$

La seconde relation signifie qu'il existe un entier $ k \in \mathbb{Z} $ tel que :
$$ x = 125k + 7 $$

Substituons cette expression dans la première relation modulo $ 8 $ :
$$ 125k + 7 \equiv 1 \pmod 8 $$

Simplifions les coefficients modulo $ 8 $ :
- $ 125 = 15 \times 8 + 5 \equiv 5 \pmod 8 $ (ou de manière équivalente $ -3 \pmod 8 $)
- $ 7 \equiv -1 \pmod 8 $

L'équation devient :
$$ 5k - 1 \equiv 1 \pmod 8 \implies 5k \equiv 2 \pmod 8 $$

Multiplions les deux membres par $ 5 $ (qui est l'inverse de $ 5 $ modulo $ 8 $, car $ 5 \times 5 = 25 \equiv 1 \pmod 8 $) :
$$ 25k \equiv 10 \pmod 8 $$
$$ k \equiv 2 \pmod 8 $$

Cela signifie qu'il existe un entier $ q \in \mathbb{Z} $ tel que :
$$ k = 8q + 2 $$

Remplaçons $ k $ dans l'expression de $ x $ :
$$ x = 125(8q + 2) + 7 = 1000q + 250 + 7 = 1000q + 257 $$

Ce qui se traduit par :
$$ x \equiv 257 \pmod{1000} $$

---

## Step 5: Congruence de $ a_n $ modulo 1000 pour $ n \ge 3 $ (Question 2-b)

Pour $ n \ge 3 $, étudions les congruences de $ a_n $ modulo $ 8 $ et modulo $ 125 $ (puisque $ 1000 = 8 \times 125 $ et que $ \text{PGCD}(8, 125) = 1 $) :

1. **Modulo 8 :**
   D'après la question 1-c, on a pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
   $$ a_n \equiv 1 \pmod 8 $$

2. **Modulo 125 :**
   Puisque $ n \ge 3 $, le terme $ 5^n $ est un multiple de $ 5^3 = 125 $. Donc :
   $$ 5^n \equiv 0 \pmod{125} $$
   Par conséquent :
   $$ a_n = 2 \times 5^n + 7 \equiv 2(0) + 7 \equiv 7 \pmod{125} $$

Le nombre $ a_n $ vérifie donc le système de la question 2-a :
$$ \begin{cases} a_n \equiv 1 \pmod 8 \ a_n \equiv 7 \pmod{125} \end{cases} $$

D'après le résultat de la question 2-a, on en déduit immédiatement que pour tout $ n \ge 3 $ :
$$ a_n \equiv 257 \pmod{1000} $$

---

## Step 6: Recherche des trois derniers chiffres du produit (Question 2-c)

On cherche à déterminer les trois derniers chiffres de l'entier :
$$ P = (2 \times 5^{2020} + 7)(2 \times 5^{2021} + 7) $$

Remarquons que :
- $ 2 \times 5^{2020} + 7 = a_{2020} $
- $ 2 \times 5^{2021} + 7 = a_{2021} $

Puisque $ 2020 \ge 3 $ et $ 2021 \ge 3 $, nous pouvons appliquer le résultat de la question 2-b :
$$ a_{2020} \equiv 257 \pmod{1000} $$
$$ a_{2021} \equiv 257 \pmod{1000} $$

Le produit $ P $ vérifie donc :
$$ P = a_{2020} \times a_{2021} \equiv 257 \times 257 \pmod{1000} $$

Calculons $ 257^2 $ :
$$ 257^2 = 66049 $$

Modulo $ 1000 $, nous ne conservons que les trois derniers chiffres :
$$ 66049 \equiv 49 \pmod{1000} $$

Les trois derniers chiffres de ce produit sont donc **049**.

---

## Step 7: Vérification de la relation de récurrence (Question 3-a)

Vérifions que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ 5a_{2n} - a_{2n+1} = 28 $ :

Exprimons les termes de la suite :
- $ a_{2n} = 2 \times 5^{2n} + 7 $
- $ a_{2n+1} = 2 \times 5^{2n+1} + 7 $

Calculons la combinaison linéaire :
$$ 5a_{2n} - a_{2n+1} = 5(2 \times 5^{2n} + 7) - (2 \times 5^{2n+1} + 7) $$
$$ 5a_{2n} - a_{2n+1} = 2 \times 5^{2n+1} + 35 - 2 \times 5^{2n+1} - 7 $$

Les termes en $ 5^{2n+1} $ se simplifient mutuellement :
$$ 5a_{2n} - a_{2n+1} = 35 - 7 = 28 $$

La relation est bien vérifiée pour tout $ n \in \mathbb{N} $.

---

## Step 8: Propriété du PGCD $ d $ (Question 3-b)

Soit $ d = \text{PGCD}(a_{2n}, a_{2n+1}) $.
Par définition du PGCD, $ d $ divise toute combinaison linéaire entière de $ a_{2n} $ et $ a_{2n+1} $.
D'après la relation établie à la question précédente, $ d $ divise :
$$ 5a_{2n} - a_{2n+1} = 28 $$

Les diviseurs positifs de $ 28 $ sont : $ \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} $.

Montrons que $ d
eq 7 $ (et plus généralement que $ d $ ne peut pas être un multiple de $ 7 $) :
Supposons par l'absurde que $ 7 $ divise $ d $. Alors $ 7 $ doit diviser $ a_{2n} $.
Or :
$$ a_{2n} = 2 \times 5^{2n} + 7 $$
Si $ 7 $ divise $ a_{2n} $, comme $ 7 $ divise évidemment $ 7 $, alors $ 7 $ doit diviser $ 2 \times 5^{2n} $.
Puisque $ 7 $ est un nombre premier, d'après le lemme de Gauss, $ 7 $ devrait diviser $ 2 $ ou $ 5^{2n} $, ce qui est impossible car aucun de ces nombres n'est un multiple de $ 7 $.

Il y a contradiction. Donc, $ d $ n'est pas un multiple de $ 7 $, d'où :
$$ d
eq 7 $$

---

## Step 9: Détermination de la valeur de $ d $ (Question 3-c)

Nous savons que :
1. $ d $ divise $ 28 $.
2. $ d $ ne peut pas être un multiple de $ 7 $ (ce qui élimine $ 7 $, $ 14 $ et $ 28 $). Les valeurs possibles pour $ d $ sont donc restreintes à : $ \{1, 2, 4\} $.
3. D'après la question 1-a, tous les termes de la suite $ a_n $ sont impairs. Ainsi, $ a_{2n} $ et $ a_{2n+1} $ sont deux entiers impairs. Leur PGCD $ d $ doit donc être un nombre impair.

La seule valeur impaire restante parmi les diviseurs possibles de $ 28 $ non multiples de $ 7 $ est $ 1 $.

On en conclut que :
$$ d = 1 $$

---

# Answer:

1-a) $ a_n $ est la somme du nombre pair $ 2 \times 5^n $ et du nombre impair $ 7 $, elle est donc toujours **impaire**.

1-b) Le reste de $ 5^n $ modulo 8 est **$ 1 $ si $ n $ est pair** et **$ 5 $ si $ n $ est impair**.

1-c) Dans les deux cas de parité de $ n $, on obtient bien **$ a_n \equiv 1 \pmod 8 $**.

2-a) La résolution du système donne **$ x \equiv 257 \pmod{1000} $**.

2-b) Pour $ n \ge 3 $, $ a_n \equiv 1 \pmod 8 $ et $ a_n \equiv 7 \pmod{125} $, d'où **$ a_n \equiv 257 \pmod{1000} $**.

2-c) Les trois derniers chiffres du produit sont **049** (car $ 257^2 \equiv 49 \pmod{1000} $).

3-a) Le calcul direct donne bien **$ 5a_{2n} - a_{2n+1} = 28 $**.

3-b) $ d $ divise $ 28 $. Si $ 7 $ divisait $ d $, il diviserait $ 2 \times 5^{2n} $, ce qui est impossible. Donc **$ d
eq 7 $**.

3-c) Comme $ a_{2n} $ et $ a_{2n+1} $ sont impairs, leur PGCD $ d $ est impair. Les seuls diviseurs impairs de $ 28 $ sont $ 1 $ et $ 7 $. Comme $ d
eq 7 $, on a **$ d = 1 $**.

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Question

Explanation:

Step 1: Justification de la parité de \( a_n \) (Question 1-a)

Step 2: Détermination du reste modulo 8 de \( 5^n \) (Question 1-b)

Step 3: Déduction de la congruence de \( a_n \) modulo 8 (Question 1-c)

Step 4: Résolution du système de congruences (Question 2-a)

Step 5: Congruence de \( a_n \) modulo 1000 pour \( n \ge 3 \) (Question 2-b)

Answer: