Question

guided practice
exponential functions
if the parent function is $y = 2^x$, which is the function of the graph?
a. $y = 2^{x + 1} + 3$
b. $y = -2^x$
c. $y = 2^x$
d. $y = -2^{x - 1} + 3$

Explanation:

1. Analizar la dirección de la gráfica: La función exponencial \( y = 2^x \) es creciente, pero la gráfica dada es decreciente, lo que sugiere un signo negativo delante de la función exponencial, lo que elimina las opciones A y C.
2. Verificar el intercepto con el eje \( y \): Cuando \( x = 0 \), para la opción B: \( y=-2^0=-1 \)? Espera, en la gráfica, cuando \( x = 0 \), \( y \) está entre -2 y -4? Espera, quizás me equivoqué. Espera, la gráfica: cuando \( x = 0 \), el valor de \( y \) es -4? No, la gráfica muestra que en \( x = 0 \), \( y \) es -4? Espera, la gráfica tiene un punto en \( (0, -4) \)? No, la gráfica: el eje \( y \) tiene marcas de -4, -2, 0, 2, 4. La curva pasa por \( (0, -4) \)? No, la curva en \( x = 0 \) está en \( y = -4 \)? Espera, la función \( y=-2^x \) cuando \( x = 0 \), \( y=-1 \), pero la gráfica parece tener en \( x = 0 \), \( y = -4 \)? No, quizás la escala. Wait, la función \( y=-2^x \): cuando \( x = 1 \), \( y=-2 \); \( x = 2 \), \( y=-4 \). Wait, la gráfica: cuando \( x = 2 \), \( y = -4 \)? No, la gráfica muestra que en \( x = 2 \), \( y \) es -4? Wait, la gráfica tiene puntos: en \( x = 0 \), \( y = -4 \)? No, la curva en \( x = 0 \) está en \( y = -4 \)? Wait, la función \( y=-2^x \): cuando \( x = 0 \), \( y=-1 \); \( x = 1 \), \( y=-2 \); \( x = 2 \), \( y=-4 \). Entonces la gráfica, si cuando \( x = 2 \), \( y = -4 \), y la curva es decreciente (ya que la base es 2 > 1, y con signo negativo, se invierte la dirección). Entonces la opción B es \( y=-2^x \), que tiene la forma de una función exponencial decreciente (por el signo negativo) y su comportamiento coincide con la gráfica dada (al aumentar \( x \), \( y \) disminuye en magnitud negativa, es decir, se aleja de cero hacia abajo). Las otras opciones: A es \( y=2^{x + 1}+3 \), que es creciente y se desplaza hacia arriba, lo que no coincide. C es \( y=2^x \), creciente, no coincide. D es \( y=-2^{x - 1}+3 \), que tendría un intercepto con \( y \) distinto. Entonces la opción correcta es B.

Answer:

B. \( y = -2^x \)