Question

graph the following system of inequalities on the coordinate plane and shade the resulting solution region: \\(\

$$\begin{cases} y > 2x - 3 \\\\ y \\leq -x + 4 \\end{cases}$$

\\)

Explanation:

Step1: 绘制\(y > 2x - 3\)的边界线

首先，将不等式\(y > 2x - 3\)视为等式\(y = 2x - 3\)，这是一条直线。其斜率\(m = 2\)，截距\(b = -3\)。由于不等式是\(y > 2x - 3\)（不包含等号），所以边界线用虚线绘制。然后，选取一个不在直线上的测试点，例如\((0,0)\)，代入不等式：\(0 > 2\times0 - 3\)，即\(0 > -3\)，成立。所以，\(y > 2x - 3\)的区域是直线\(y = 2x - 3\)上方的部分。

Step2: 绘制\(y \leq -x + 4\)的边界线

将不等式\(y \leq -x + 4\)视为等式\(y = -x + 4\)，这是一条直线。其斜率\(m = -1\)，截距\(b = 4\)。由于不等式包含等号（\(\leq\)），所以边界线用实线绘制。选取测试点\((0,0)\)，代入不等式：\(0 \leq -0 + 4\)，即\(0 \leq 4\)，成立。所以，\(y \leq -x + 4\)的区域是直线\(y = -x + 4\)下方（包括直线本身）的部分。

Step3: 确定解集区域

解集区域是同时满足两个不等式的区域，即\(y > 2x - 3\)的区域和\(y \leq -x + 4\)的区域的交集。通过观察两条直线的位置关系，找到它们的交点。联立方程\(

$$\begin{cases}y = 2x - 3\\y = -x + 4\end{cases}$$

\)，将\(y = 2x - 3\)代入\(y = -x + 4\)，得\(2x - 3 = -x + 4\)，移项得\(2x + x = 4 + 3\)，即\(3x = 7\)，解得\(x = \frac{7}{3}\)，再代入\(y = -x + 4\)，得\(y = -\frac{7}{3} + 4 = \frac{5}{3}\)，所以交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)。解集区域是在直线\(y = 2x - 3\)（虚线）上方，且在直线\(y = -x + 4\)（实线）下方，包括交点\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)以及两条直线之间的区域。

Answer:

解集区域是直线\(y = 2x - 3\)（虚线）上方与直线\(y = -x + 4\)（实线）下方的交集区域，交点为\((\frac{7}{3}, \frac{5}{3})\)，在坐标平面上需用虚线绘制\(y = 2x - 3\)，实线绘制\(y = -x + 4\)，并对满足两个不等式的区域进行阴影填充。