Question

given: ( mangle orp = 80^{circ})( mangle orn=(3x + 10)^{circ})prove: ( x = 30)which statement could be used in step 2 when proving ( x = 30)?(angle orp) and (angle orn) are a linear pair(angle orp) and (angle orn) are vertical angles( 80 = 3x+10)( x = 30)

Explanation:

Para probar \( x = 30 \), primero debemos identificar la relación entre \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \). Observando la figura, \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) forman un par lineal (ya que están en una recta, sumando \( 180^\circ \), pero en este caso, la figura sugiere que son suplementarios o que forman un ángulo recto? No, en la figura, \( P \), \( R \), \( N \) están en una recta horizontal, y \( O \) está en la vertical? Wait, no, la figura muestra que \( \angle ORP = 80^\circ \) y \( \angle ORN=(3x + 10)^\circ \), y \( P - R - N \) es una línea recta, y \( O \) está en la vertical? Wait, no, la clave es que \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) son suplementarios? No, en la figura, parece que \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) son ángulos que suman \( 180^\circ \)? No, wait, la primera opción es " \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) son un par lineal". Un par lineal de ángulos son dos ángulos adyacentes que forman una línea recta, es decir, suman \( 180^\circ \). Pero en la figura, \( \angle ORP = 80^\circ \) y \( \angle ORN=(3x + 10)^\circ \), y si son un par lineal, entonces \( 80 + (3x + 10)=180 \), pero en el problema, queremos probar \( x = 30 \), entonces \( 3x + 10 = 100 \) (si \( x = 30 \), \( 3*30 + 10 = 100 \)), y \( 80 + 100 = 180 \), lo que es un par lineal. Pero la segunda opción es ángulos verticales, que son iguales, pero \( 80 \) y \( 100 \) no son iguales, así que no son verticales. La tercera opción es \( 80 = 3x + 10 \), que sería si son iguales, pero no, porque \( 80 \) y \( 100 \) no son iguales. La cuarta opción es \( x = 30 \), que es lo que queremos probar, no el paso 2. Entonces el paso 2 debe ser identificar que \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) son un par lineal, porque luego podemos decir que suman \( 180^\circ \), y entonces resolver para \( x \). Wait, pero en la figura, \( P \), \( R \), \( N \) están en una línea recta, y \( O \) está en la vertical? No, la figura muestra que \( \angle ORP = 80^\circ \) y \( \angle ORN=(3x + 10)^\circ \), y \( R \) es el vértice, con \( P \) a la izquierda, \( N \) a la derecha, y \( O \) abajo. Entonces \( \angle ORP \) es el ángulo entre \( OR \) y \( RP \), y \( \angle ORN \) es el ángulo entre \( OR \) y \( RN \), y \( RP \) y \( RN \) son opuestos en línea recta, así que \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) son un par lineal (adyacentes, forman una línea recta). Entonces el paso 2 es afirmar que \( \angle ORP \) y \( \angle ORN \) son un par lineal.

Answer:

\( \boldsymbol{\angle ORP} \) and \( \boldsymbol{\angle ORN} \) are a linear pair (the first option: \( \angle ORP \) and \( \angle ORN \) are a linear pair)