Question

find the value of ( x ), ( y ), and ( z ) in the parallelogram below.

( (z+10)^circ )

( (-y+6)^circ )

( 80^circ )

( (-3x-2)^circ )

Explanation:

Step1: 利用平行四边形对边平行且相等，对角相等，邻角互补的性质。首先看与\(80^{\circ}\)相对的角，平行四边形对角相等，所以\(z + 10 = 80\)？不对，应该是邻角互补？不，平行四边形对角相等，所以\(80^{\circ}\)的对角应该是\((-y + 6)^{\circ}\)？不对，重新看，平行四边形中，相邻的角互补，即和为\(180^{\circ}\)，对角相等。所以\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)是邻角吗？不，看图形，\(80^{\circ}\)的邻角应该是\((-3x - 2)^{\circ}\)？不对，重新分析：平行四边形的对角相等，所以\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)？或者\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)是对角？不对，看图形，\(80^{\circ}\)的角和\((z + 10)^{\circ}\)的角是邻角吗？不，平行四边形中，对边平行，所以同旁内角互补。所以\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)如果是同旁内角，应该互补？不对，应该是对角相等，邻角互补。所以\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(-y + 6 = 80\)？不对，那\(80^{\circ}\)的邻角是\((z + 10)^{\circ}\)，所以\(80 + (z + 10) = 180\)？不，等一下，平行四边形的对角相等，所以\(80^{\circ}\)的对角应该是\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(-y + 6 = 80\)，解得\(y = -74\)，这显然有问题，说明我看错了角的位置。重新看图形，\(80^{\circ}\)的角和\((-3x - 2)^{\circ}\)的角是邻角吗？不，\(80^{\circ}\)的角和\((z + 10)^{\circ}\)的角是对边的角？不对，平行四边形中，相对的角相等，所以\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)，而\(80^{\circ}\)的邻角是\((z + 10)^{\circ}\)和\((-3x - 2)^{\circ}\)？不，应该是\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)是邻角，所以互补，即\(80 + (z + 10) = 180\)，解得\(z = 90\)？不对，这也有问题。哦，可能我搞错了，平行四边形的对角相等，所以\(80^{\circ}\)的对角是\((z + 10)^{\circ}\)，所以\(z + 10 = 80\)，解得\(z = 70\)。然后\(80^{\circ}\)的邻角是\((-3x - 2)^{\circ}\)，所以\(80 + (-3x - 2) = 180\)，即\(-3x + 78 = 180\)，\(-3x = 102\)，\(x = -34\)，这也不对。哦，可能\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(-y + 6 = 80\)，\(-y = 74\)，\(y = -74\)，这显然错误，说明我角的位置看错了。重新看图形，\(80^{\circ}\)的角和\((-3x - 2)^{\circ}\)的角是对角？所以\(-3x - 2 = 80\)，解得\(-3x = 82\)，\(x = -82/3\)，也不对。哦，可能\(80^{\circ}\)的邻角是\((z + 10)^{\circ}\)，所以\(80 + (z + 10) = 180\)，所以\(z + 90 = 180\)，\(z = 90\)？然后\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(-y + 6 = 80\)，\(y = -74\)，还是错。哦，可能我搞反了，平行四边形中，对角相等，所以\(80^{\circ}\)和\((-3x - 2)^{\circ}\)是对角？所以\(-3x - 2 = 80\)，\(-3x = 82\)，\(x = -82/3\)，不对。或者\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)是对角，所以\(z + 10 = 80\)，\(z = 70\)，然后\(80^{\circ}\)的邻角是\((-3x - 2)^{\circ}\)，所以\(80 + (-3x - 2) = 180\)，\(-3x + 78 = 180\)，\(-3x = 102\)，\(x = -34\)，还是错。哦，可能题目中的\(x\)的角是\((-3x - 2)^{\circ}\)，而\(80^{\circ}\)和\((-3x - 2)^{\circ}\)是邻角，所以互补，即\(80 + (-3x - 2) = 180\)，解得\(-3x = 102\)，\(x = -34\)。然后\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(-y + 6 = 80\)，\(y = -74\)。然后\(80^{\circ}\)的另一个邻角是\((z + 10)^{\circ}\)，所以\(80 + (z + 10) = 180\)，\(z = 90\)？这显然有问题，因为角度不能是负数吗？不，\(y\)是负数，说明我角的位置分析错误。重新看：平行四边形的对角相等，所以\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)是对角，所以\(z + 10 = 80\)，\(z = 70\)。然后\(80^{\circ}\)的邻角是\((-3x - 2)^{\circ}\)和\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(80 + (-3x - 2) = 180\)，解得\(-3x = 102\)，\(x = -34\)。\(80 + (-y + 6) = 180\)，解得\(-y = 94\)，\(y = -94\)。这显然不对，说明我哪里错了。哦，可能\(80^{\circ}\)的对角是\((-3x - 2)^{\circ}\)，所以\(-3x - 2 = 80\)，\(-3x = 82\)，\(x = -82/3\)，也不对。或者题目中的\(x\)的角是\((-3x - 2)^{\circ}\)，而\(80^{\circ}\)和\((z + 10)^{\circ}\)是邻角，所以\(80 + (z + 10) = 180\)，\(z = 90\)。\(80^{\circ}\)的对角是\((-y + 6)^{\circ}\)，所以\(-y + 6 = 80\)，\(y = -74\)。\(80^{\circ}\)的另一个邻角是\((-3x - 2)^{\circ}\)，所以\(80 + (-3x - 2) = 180\)，\(-3x = 102\)，\(x = -34\)。虽然\(y\)和\(x\)是负数，但数学上是允许的，因为这里的变量是角度的表达式中的系数。现在检查：\(z + 10 = 90 + 10 = 100\)，\(80 + 100 = 180\)，符合邻角互补。\(-3x - 2 = -3*(-34) - 2 = 102 - 2 = 100\)，\(80 + 100 = 180\)，符合。\(-y + 6 = -(-74) + 6 = 80\)，和\(80^{\circ}\)相等，符合对角相等。所以正确。

Step2: 解\(z\)的方程：\(80 + (z + 10) = 180\)（邻角互补），即\(z + 90 = 180\)，解得\(z = 90\)。

Step3: 解\(x\)的方程：\(80 + (-3x - 2) = 180\)（邻角互补），即\(-3x + 78 = 180\)，\(-3x = 102\)，解得\(x = -34\)。

Step4: 解\(y\)的方程：\(-y + 6 = 80\)（对角相等），即\(-y = 74\)，解得\(y = -74\)。

Answer:

\(x = -34\)，\(y = -74\)，\(z = 90\)