Question

examples!
résoudre dans ℝ
$x^2 + x + 2 \leq 0$
$-2x^2 + 3x - 2 \leq $
$x^2 + 4x + 4 \leq 0$
$9x^2 + 6x + 2 > 0$

Explanation:

Pour résoudre ces inéquations du second degré, on utilisera la méthode du discriminant et l'étude du signe du trinôme. Prenons la première inéquation : $x^2 + x + 2 \leq 0$

Step 1: Calculer le discriminant $\Delta$

Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$, $\Delta = b^2 - 4ac$. Ici, $a = 1$, $b = 1$, $c = 2$.
$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 - 8 = -7$

Step 2: Étudier le signe du trinôme

Puisque $a = 1 > 0$ et $\Delta = -7 < 0$, le trinôme $x^2 + x + 2$ est toujours positif (car la parabole ouverte vers le haut n'intercepte pas l'axe des abscisses). Ainsi, $x^2 + x + 2 \leq 0$ n'a pas de solution.

Maintenant la deuxième inéquation : $-2x^2 + 3x - 2 \leq 0$ (on peut multiplier par -1 en inversant l'inégalité : $2x^2 - 3x + 2 \geq 0$)

Step 1: Calculer le discriminant $\Delta$

$a = 2$, $b = -3$, $c = 2$. $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 9 - 16 = -7$

Step 2: Étudier le signe du trinôme

$a = 2 > 0$ et $\Delta = -7 < 0$, donc $2x^2 - 3x + 2$ est toujours positif. Ainsi, $2x^2 - 3x + 2 \geq 0$ est vrai pour tous les $x \in \mathbb{R}$, donc l'inéquation initiale $-2x^2 + 3x - 2 \leq 0$ est vraie pour tous les $x \in \mathbb{R}$.

Troisième inéquation : $x^2 + 4x + 4 \leq 0$ (on reconnaît un carré parfait : $(x + 2)^2 \leq 0$)

Step 1: Étudier le carré

Un carré réel est toujours positif ou nul. Ainsi, $(x + 2)^2 \leq 0$ si et seulement si $(x + 2)^2 = 0$, soit $x = -2$.

Quatrième inéquation : $9x^2 + 6x + 2 > 0$

Step 1: Calculer le discriminant $\Delta$

$a = 9$, $b = 6$, $c = 2$. $\Delta = 6^2 - 4 \times 9 \times 2 = 36 - 72 = -36$

Step 2: Étudier le signe du trinôme

$a = 9 > 0$ et $\Delta = -36 < 0$, donc le trinôme $9x^2 + 6x + 2$ est toujours positif. Ainsi, $9x^2 + 6x + 2 > 0$ est vrai pour tous les $x \in \mathbb{R}$.

Answer:

s (pour chaque inéquation) :

1. $x^2 + x + 2 \leq 0$ : Aucune solution.
2. $-2x^2 + 3x - 2 \leq 0$ : $\mathbb{R}$ (tous les réels).
3. $x^2 + 4x + 4 \leq 0$ : $\{ -2 \}$
4. $9x^2 + 6x + 2 > 0$ : $\mathbb{R}$ (tous les réels).