Question

en el triángulo rectángulo mostrado, $m\angle k = 60^{\circ}$ y $kl = 2$.\
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imagen de un triángulo rectángulo $klj$ con ángulo recto en $l$, $kl = 2$, $m\angle k = 60^{\circ}$, y $jl = x$\
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¿cuánto mide $jl$?\
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elige 1 respuesta:\
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a $2\sqrt{2}$\
b $2\sqrt{3}$\
c $4$\
d $4\sqrt{2}$\
e $4\sqrt{3}$

Explanation:

Step1: Identificar el triángulo rectángulo

Tenemos un triángulo rectángulo en \( L \), con \( \angle K = 60^\circ \) y \( KL = 2 \). Queremos encontrar \( JL = x \).

Step2: Usar la tangente o la relación de ángulos

En un triángulo rectángulo, \( \tan(60^\circ) = \frac{JL}{KL} \). Sabemos que \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) y \( KL = 2 \). Entonces:

$$ \tan(60^\circ) = \frac{x}{2} \implies \sqrt{3} = \frac{x}{2} \implies x = 2\sqrt{3}? \text{ Espera, no. Wait, quizás usar la relación de 30-60-90.} $$

Wait, en un triángulo rectángulo con ángulo de \( 60^\circ \), el ángulo \( J \) es \( 30^\circ \) (porque la suma de ángulos es \( 180^\circ \), \( 90 + 60 + 30 = 180 \)). En un triángulo 30-60-90, los lados están en la relación \( 1 : \sqrt{3} : 2 \), donde el lado opuesto a \( 30^\circ \) es el más corto, el opuesto a \( 60^\circ \) es \( \sqrt{3} \) veces ese, y la hipotenusa es el doble del lado opuesto a \( 30^\circ \).

Wait, \( KL = 2 \) es el lado adyacente a \( 60^\circ \), y \( JL \) es el lado opuesto a \( 60^\circ \)? No, \( L \) es el ángulo recto, así que \( KL \) y \( JL \) son los catetos, y \( KJ \) es la hipotenusa. \( \angle K = 60^\circ \), así que \( \angle J = 30^\circ \). Entonces, el cateto opuesto a \( 30^\circ \) es \( KL = 2 \), por lo tanto la hipotenusa \( KJ = 4 \) (ya que en 30-60-90, la hipotenusa es el doble del cateto opuesto a \( 30^\circ \)). Pero \( JL \) es el cateto opuesto a \( 60^\circ \), que es \( KL \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)? Wait, no, quizás me equivoqué.

Wait, la pregunta es "¿Cuánto mide JL?". Entonces, \( KL = 2 \) (cateto), \( \angle K = 60^\circ \), \( \angle L = 90^\circ \). Entonces, \( \tan(60^\circ) = \frac{JL}{KL} \implies \sqrt{3} = \frac{JL}{2} \implies JL = 2\sqrt{3} \). Pero en las opciones, la opción B es \( 2\sqrt{3} \). Wait, pero la opción que está marcada es "do" con 4, pero quizás hay un error. Wait, no, quizás la pregunta es sobre la hipotenusa? No, la pregunta es JL.

Wait, volviendo: triángulo rectángulo en L, así que KL y JL son catetos, KJ es hipotenusa. \( \angle K = 60^\circ \), entonces \( \sin(60^\circ) = \frac{JL}{KJ} \), \( \cos(60^\circ) = \frac{KL}{KJ} \). \( \cos(60^\circ) = 0.5 \), así que \( 0.5 = \frac{2}{KJ} \implies KJ = 4 \). Entonces, \( \sin(60^\circ) = \frac{JL}{4} \implies JL = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \). Entonces la respuesta correcta es B. \( 2\sqrt{3} \).

Answer:

B. \( 2\sqrt{3} \)