Question

for each problem, find the: x and y intercepts, x-coordinates of the critical points, open intervals where the function is increasing and decreasing, x-coordinates of the inflection points, open intervals where the function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.

1. $y = -\frac{x^3}{3} + x^2$

Explanation:

Step1: 求x和y截距

• 求y截距：令\(x = 0\)，代入函数\(y = -\frac{x^3}{3}+x^2\)，得\(y = 0\)，所以y截距为\((0,0)\)。
• 求x截距：令\(y = 0\)，即\(-\frac{x^3}{3}+x^2 = 0\)，提取公因式\(x^2\)得\(x^2(-\frac{x}{3}+1)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 3\)，所以x截距为\((0,0)\)和\((3,0)\)。

Step2: 求临界点（一阶导数为0的点）

对函数\(y = -\frac{x^3}{3}+x^2\)求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n - 1}\)，\(y^\prime=-x^2 + 2x\)。令\(y^\prime = 0\)，即\(-x^2 + 2x = 0\)，提取公因式\(x\)得\(x(-x + 2)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)，所以临界点的x坐标为\(x = 0\)和\(x = 2\)。

Step3: 确定函数的增减区间

根据临界点将定义域\((-\infty,+\infty)\)分成三个区间：\((-\infty,0)\)、\((0,2)\)、\((2,+\infty)\)。

• 在区间\((-\infty,0)\)内，取测试点\(x=-1\)，代入\(y^\prime=-x^2 + 2x\)，得\(y^\prime=-(-1)^2+2\times(-1)=-1 - 2=-3\lt0\)，所以函数在\((-\infty,0)\)上单调递减。
• 在区间\((0,2)\)内，取测试点\(x = 1\)，代入\(y^\prime=-x^2 + 2x\)，得\(y^\prime=-1^2+2\times1=-1 + 2 = 1\gt0\)，所以函数在\((0,2)\)上单调递增。
• 在区间\((2,+\infty)\)内，取测试点\(x = 3\)，代入\(y^\prime=-x^2 + 2x\)，得\(y^\prime=-3^2+2\times3=-9 + 6=-3\lt0\)，所以函数在\((2,+\infty)\)上单调递减。

Step4: 求拐点（二阶导数为0的点）

对一阶导数\(y^\prime=-x^2 + 2x\)求导，得二阶导数\(y^{\prime\prime}=-2x + 2\)。令\(y^{\prime\prime}=0\)，即\(-2x + 2 = 0\)，解得\(x = 1\)，所以拐点的x坐标为\(x = 1\)。

Step5: 确定函数的凹凸区间

根据拐点将定义域分成两个区间：\((-\infty,1)\)、\((1,+\infty)\)。

• 在区间\((-\infty,1)\)内，取测试点\(x = 0\)，代入\(y^{\prime\prime}=-2x + 2\)，得\(y^{\prime\prime}=-2\times0 + 2 = 2\gt0\)，所以函数在\((-\infty,1)\)上凹向上。
• 在区间\((1,+\infty)\)内，取测试点\(x = 2\)，代入\(y^{\prime\prime}=-2x + 2\)，得\(y^{\prime\prime}=-2\times2 + 2=-4 + 2=-2\lt0\)，所以函数在\((1,+\infty)\)上凹向下。

Step6: 求相对极值

根据函数的单调性：

• 在\(x = 0\)处，函数左侧单调递减，右侧单调递增，所以\(x = 0\)处取得相对极小值，将\(x = 0\)代入原函数得\(y = 0\)，即相对极小值为\((0,0)\)。
• 在\(x = 2\)处，函数左侧单调递增，右侧单调递减，所以\(x = 2\)处取得相对极大值，将\(x = 2\)代入原函数得\(y=-\frac{2^3}{3}+2^2=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}\)，即相对极大值为\((2,\frac{4}{3})\)。

Answer:

• x截距：\((0,0)\)，\((3,0)\)；y截距：\((0,0)\)。
• 临界点的x坐标：\(x = 0\)，\(x = 2\)。
• 递增区间：\((0,2)\)；递减区间：\((-\infty,0)\)，\((2,+\infty)\)。
• 拐点的x坐标：\(x = 1\)。
• 凹向上区间：\((-\infty,1)\)；凹向下区间：\((1,+\infty)\)。
• 相对极小值：\((0,0)\)；相对极大值：\((2,\frac{4}{3})\)。