Question

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where th function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.

1. ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

Explanation:

Step1: 求\(x\)、\(y\)轴截距

• \(y\)轴截距：令\(x = 0\)，代入\(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)，得\(y = 0\)。
• \(x\)轴截距：令\(y = 0\)，即\(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}=0\)，提取公因式\(x^{2}\)得\(x^{2}(1-\frac{x}{3}) = 0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 3\)。

Step2: 求一阶导数\(y'\)并找临界点

对\(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)求导，根据求导公式\((X^{n})^\prime=nX^{n - 1}\)，\(y^\prime=-x^{2}+2x\)。
令\(y^\prime = 0\)，即\(-x^{2}+2x=0\)，提取公因式\(-x\)得\(-x(x - 2)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)，这就是\(x\)坐标的临界点。

Step3: 求函数的单调区间

根据一阶导数判断单调性：

• 当\(x\lt0\)时，取\(x=-1\)，\(y^\prime=-(-1)^{2}+2\times(-1)=-3\lt0\)，函数\(y\)在\((-\infty,0)\)上单调递减。
• 当\(0\lt x\lt2\)时，取\(x = 1\)，\(y^\prime=-1^{2}+2\times1 = 1\gt0\)，函数\(y\)在\((0,2)\)上单调递增。
• 当\(x\gt2\)时，取\(x = 3\)，\(y^\prime=-3^{2}+2\times3=-3\lt0\)，函数\(y\)在\((2,+\infty)\)上单调递减。

Step4: 求二阶导数\(y''\)并找拐点

对\(y^\prime=-x^{2}+2x\)求导，\(y''=-2x + 2\)。
令\(y'' = 0\)，即\(-2x + 2 = 0\)，解得\(x = 1\)，这就是\(x\)坐标的拐点。

Step5: 求函数的凹凸区间

根据二阶导数判断凹凸性：

• 当\(x\lt1\)时，取\(x = 0\)，\(y''=-2\times0+2 = 2\gt0\)，函数\(y\)在\((-\infty,1)\)上凹。
• 当\(x\gt1\)时，取\(x = 2\)，\(y''=-2\times2+2=-2\lt0\)，函数\(y\)在\((1,+\infty)\)上凸。

Step6: 求相对极值

• 当\(x = 0\)时，\(y=-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}=0\)，因为\(x = 0\)左侧函数递减，右侧函数递增，所以\((0,0)\)是相对极小值点。
• 当\(x = 2\)时，\(y=-\frac{2^{3}}{3}+2^{2}=\frac{4}{3}\)，因为\(x = 2\)左侧函数递增，右侧函数递减，所以\((2,\frac{4}{3})\)是相对极大值点。

Answer:

• \(x\)轴截距：\(x = 0\)，\(x = 3\)；\(y\)轴截距：\(y = 0\)。
• \(x\)坐标的临界点：\(x = 0\)，\(x = 2\)。
• 函数单调递增区间：\((0,2)\)；单调递减区间：\((-\infty,0)\)，\((2,+\infty)\)。
• \(x\)坐标的拐点：\(x = 1\)。
• 函数上凹区间：\((-\infty,1)\)；上凸区间：\((1,+\infty)\)。
• 相对极小值：\((0,0)\)；相对极大值：\((2,\frac{4}{3})\)。

根据以上信息可绘制函数\(y =-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\)的图像。